Công thức tìm hệ số trong khai triển – Bài tập có đáp án chi tiết

Trong toán học, tìm hệ số trong khai triển là cách biểu diễn biểu thức đó dưới dạng tổng của các thành phần. Một trong những khái niệm quan trọng trong khai triển là hệ số của mỗi thành phần. Hệ số đóng vai trò quan trọng trong việc xác định mức độ đóng góp của mỗi thành phần trong tổng.

Lý thuyết tìm hệ số trong khai triển lớp 10

Xét khai triển: (với a,b là các hệ số; x,y là biến)

Tìm số hạng thứ k trong công thức tìm hệ số trong khai triển:

Công thức tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án với thành quả k đã tìm được ở trên.

nếu như k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa xm , hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển P(x) = (a + bxp + cxq)n

P(x) = (a + bxp + cxq)n được viết dưới dạng a0 + a1x + …+ a2nx2n

Ta làm như sau:

* Viết P(x) = (a + bxp + cxq)nChuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

* Viết số hạng tổng quát khi triển khai các số hạng dạng (bxp+cxq)k thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai triển khai trên ta tính được hệ số của xm.

Chú ý: Để xác định hệ số khổng lồ nhất trong triển khai nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số ak theo k và n;

* Giải bất phương trình ak-1 ≤ ak với ẩn số k;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Xem thêm: Công thức dãy số

Ví dụ minh hoạ tìm hệ số trong khai triển

Bài 1: Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức của: x(1-2x)5+x2 (1+3x)10

Tham Khảo Thêm:  Công thức cộng xác suất - Lí thuyết và bài tập

Đáp án và hướng dẫn giải

Đặt f(x)=x(1-2x)5+x2 (1+3x)10

Ta có :

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy hệ số của x5 trong triển khai đa thức của f(x) ứng với k = 4 và i = 3 là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 2: Đa thức P(x) =(1+3x+2x2)10=a0 + a1 x + ⋯ + a20 x20. Tìm a15

Đáp án và hướng dẫn giải

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. vì lẽ đó k + i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 3: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x3 – (2/x))n, biết rằng Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án và chỉ dẫn giải

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ngoài ra bạn cũng có thể theo dõi thêm các bài viết về Công thức cấp số nhân lùi vô hạn để cập nhật thêm các kiến thức toán học 11 khác nhé!

Bài tập tìm hệ số trong khai triển lớp 10 vận dụng

Bài 1: Tìm hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức f(x)=[1+x2 (1-x)]8

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Trong triển khai trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. vì vậy x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy hệ số cuả x8 trong triển khai đa thức [1+x2 (1-x)]8 là:

a8 = Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án = 238.

Bài 2: Đa thức P(x) = (1 + 3x + 2x2)10 = a0 + a1 x+⋯+a20 x20.. Tìm a15

Lời giải:

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. vì thế k+i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 3: Trong khai triển (2a-b)5, hệ số của số hạng thứ bằng bao nhiêu?

Tham Khảo Thêm:  Công thức giới hạn của hàm số

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp ánChuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 4: Trong triển khai nhị thức (a+2)n+6,(n ϵ Z). Có toàn bộ số hạng. Vậy n bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khai triển (a+2)(n+6),(n ϵ N) có tất cả n+7 số hạng.

do đó n+7 =17 ⇔ n=10.

Bài 5: Trong khai triển (3x2-y)10, hệ số của số hạng chính giữa là bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khai triển (3x2-y)10 có toàn bộ 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án.

Xem thêm: Công thức cấp số nhân lớp 11

Ý nghĩa của việc tìm hệ số trong khai triển

Hệ số trong khai triển đóng vai trò quan trọng trong việc xác định mức độ đóng góp của mỗi thành phần trong tổng. Bằng cách tìm hiểu và tính toán các hệ số trong Toán 11, chúng ta có thể xác định được các giá trị cụ thể của từng thành phần và thực hiện các phép tính liên quan.

Xem thêm: Các công thức cấp số cộng

Ứng dụng của việc tìm hệ số trong khai triển

Tính toán đa thức và biểu thức

Bằng cách tìm hệ số trong khai triển đa thức và biểu thức, chúng ta có thể tính toán giá trị cụ thể của chúng, đơn giản hóa và rút gọn biểu thức.

Tìm mẫu số và tỷ lệ trong các vấn đề liên quan:

Trong một số vấn đề liên quan đến tỷ lệ, hệ số trong khai triển có thể giúp chúng ta xác định các mẫu số và tỷ lệ tương ứng với các thành phần của khai triển.

Tham Khảo Thêm:  Công Thức Xác Suất Trọn Bộ Kèm Bài Tập Và Lời Giải Chi Tiết

Xác định mức độ đóng góp của từng thành phần

Hệ số trong khai triển cho biết mức độ đóng góp của từng thành phần vào tổng. Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự phân bố và tầm quan trọng của các thành phần trong biểu thức.

Tổng kết

Như vậy, việc tìm hệ số trong khai triển không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cách biểu diễn một biểu thức mà còn giúp chúng ta phân tích và xử lý các vấn đề phức tạp hơn trong toán học. Bằng cách tìm hiểu và áp dụng các phương pháp tính toán hệ số, chúng ta có thể khám phá ra nhiều ứng dụng thú vị và tận dụng hiệu quả các biểu thức trong các lĩnh vực khác nhau. Đừng quên đọc thêm những kiến thức Toán học mới nhất ngay tại THCS Mạc Đĩnh Chi của chúng tôi.

Xem thêm các bài viết liên quan:

Công thức cấp số nhân cấp số cộng

Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức xác suất

Phép đối xứng tâm

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Các công thức về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Công thức nhị thức niu tơn

Tính tổng các hệ số trong khai triển

Công thức tính tổng dãy số

Công thức tính công bội của cấp số nhân

Công thức tính công sai của cấp số cộng

Công thức giới hạn dãy số

Công thức giới hạn của hàm số

Công thức hàm số lượng giác

Công thức đạo hàm cấp cao

Công thức đạo hàm cấp n

Công thức logarit và đạo hàm

Công thức cộng xác suất

Công thức nhân xác suất

Similar Posts

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *