Công thức tìm hệ số trong khai triển – Bài tập có đáp án chi tiết

Trong toán học, tìm hệ số trong khai triển là cách biểu diễn biểu thức đó dưới dạng tổng của các thành phần. Một trong những khái niệm quan trọng trong khai triển là hệ số của mỗi thành phần. Hệ số đóng vai trò quan trọng trong việc xác định mức độ đóng góp của mỗi thành phần trong tổng.

Lý thuyết tìm hệ số trong khai triển lớp 10

Xét khai triển: (với a,b là các hệ số; x,y là biến)

Tìm số hạng thứ k trong công thức tìm hệ số trong khai triển:

Công thức tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m.

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là:  với thành quả k đã tìm được ở trên.

nếu như k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m , hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: xác định hệ số của số hạng chứa x^m trong khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ

P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ được viết dưới dạng a₀ + a₁x + …+ a_2nx²ⁿ

Ta làm như sau:

* Viết P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ

* Viết số hạng tổng quát khi triển khai các số hạng dạng (bx^p+cx^q)^k thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai triển khai trên ta tính được hệ số của x^m.

Chú ý: Để xác định hệ số khổng lồ nhất trong triển khai nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số a_k theo k và n;

* Giải bất phương trình a_k-1 ≤ a_k với ẩn số k;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Xem thêm: Công thức dãy số

Ví dụ minh hoạ tìm hệ số trong khai triển

Bài 1: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển đa thức của: x(1-2x)⁵+x² (1+3x)¹⁰

Đáp án và hướng dẫn giải

Đặt f(x)=x(1-2x)⁵+x² (1+3x)¹⁰

Ta có :

Vậy hệ số của x⁵ trong triển khai đa thức của f(x) ứng với k = 4 và i = 3 là:

Bài 2: Đa thức P(x) =(1+3x+2x²)¹⁰=a₀ + a₁ x + ⋯ + a₂₀ x²⁰. Tìm a₁₅

Đáp án và hướng dẫn giải

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. vì lẽ đó k + i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7

Bài 3: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x³ – (2/x))ⁿ, biết rằng 

Đáp án và chỉ dẫn giải

Ngoài ra bạn cũng có thể theo dõi thêm các bài viết về Công thức cấp số nhân lùi vô hạn để cập nhật thêm các kiến thức toán học 11 khác nhé!

Bài tập tìm hệ số trong khai triển lớp 10 vận dụng

Bài 1: Tìm hệ số cuả x⁸ trong khai triển đa thức f(x)=[1+x² (1-x)]⁸

Lời giải:

Trong triển khai trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. vì vậy x⁸ chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là:

Vậy hệ số cuả x⁸ trong triển khai đa thức [1+x² (1-x)]⁸ là:

a₈ =  = 238.

Bài 2: Đa thức P(x) = (1 + 3x + 2x²)¹⁰ = a₀ + a₁ x+⋯+a₂₀ x²⁰.. Tìm a₁₅

Lời giải:

Ta có:

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. vì thế k+i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7

Bài 3: Trong khai triển (2a-b)⁵, hệ số của số hạng thứ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Bài 4: Trong triển khai nhị thức (a+2)ⁿ⁺⁶,(n ϵ Z). Có toàn bộ số hạng. Vậy n bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khai triển (a+2)⁽ⁿ⁺⁶⁾,(n ϵ N) có tất cả n+7 số hạng.

do đó n+7 =17 ⇔ n=10.

Bài 5: Trong khai triển (3x²-y)¹⁰, hệ số của số hạng chính giữa là bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khai triển (3x²-y)¹⁰ có toàn bộ 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là .

Xem thêm: Công thức cấp số nhân lớp 11

Ý nghĩa của việc tìm hệ số trong khai triển

Hệ số trong khai triển đóng vai trò quan trọng trong việc xác định mức độ đóng góp của mỗi thành phần trong tổng. Bằng cách tìm hiểu và tính toán các hệ số trong Toán 11, chúng ta có thể xác định được các giá trị cụ thể của từng thành phần và thực hiện các phép tính liên quan.

Xem thêm: Các công thức cấp số cộng

Ứng dụng của việc tìm hệ số trong khai triển

Tính toán đa thức và biểu thức

Bằng cách tìm hệ số trong khai triển đa thức và biểu thức, chúng ta có thể tính toán giá trị cụ thể của chúng, đơn giản hóa và rút gọn biểu thức.

Tìm mẫu số và tỷ lệ trong các vấn đề liên quan:

Trong một số vấn đề liên quan đến tỷ lệ, hệ số trong khai triển có thể giúp chúng ta xác định các mẫu số và tỷ lệ tương ứng với các thành phần của khai triển.

Xác định mức độ đóng góp của từng thành phần

Hệ số trong khai triển cho biết mức độ đóng góp của từng thành phần vào tổng. Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự phân bố và tầm quan trọng của các thành phần trong biểu thức.

Tổng kết