Phép đối xứng tâm: Lí thuyết, Công thức và Bài tập

Phép đối xứng tâm là một trong những phép biến hình thường được dùng trong toán lớp 11. mặc dù vậy, nó vẫn gây ra không ít khó khăn cho các bạn học sinh trong việc tưởng tượng và app vào giải toán. Vì thế nên chúng tôi đã thiết kế bài content này nhằm điểm lại định nghĩa, phẩm chất và vận dụng vào các bài toán ra sao. Các em hãy đọc cẩn thận để tiếp thu nhé.

Có thể bạn quan tâm

1. Định nghĩa phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm được khái niệm như sau trong toán học:

Bạn đang xem: Phép đối xứng tâm: Lí thuyết, Công thức và Bài tập

Cho điểm I, phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M′ sao cho M ′ đối xứng với M qua I (hay I chính là trung điểm thì còn được nhắc đên là phép đối xứng tâm I).

Tâm đối xứng được kí hiệu là I.

1.1 Kí hiệu Đ $_{I}$

Đây là kí hiệu của phép đối xứng tâm I

1.2. Công thức

Từ định nghĩa phép đối xứng tâm ta có khả năng suy ra được công thức như sau:

Phép đối xứng tâm

1.3. Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm

nếu như hình ℋ có hình ℋ ’ là ảnh qua ĐI thì ta còn nói là ℋ ’ đối xứng với ℋ qua tâm I, hay ℋ và ℋ ’ đối xứng với nhau qua I.

2. Tính chất

2.1. Tính chất 1

$\bar{M^{'} N^{'}} = \bar{- M N}$

Tính chất thứ nhất của phép đối xứng tâm

Lưu ý:

Nếu như ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối xứng tâm I trở thành M’, N’, P’ tương ứng cũng thẳng hàng theo trình tự đấy.

Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

2.2. Tính chất 2

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
Chuyển một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
Chuyển một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng với đoạn thẳng đấy
Chuyển một tam giác thành tam giác bằng tam giác ban đầu
Biến một đường tròn trở thành một đường tròn khác có cùng bán kính

3. Biểu thức tọa độ

3.1. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; y), gọi tọa điểm M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O, ta có:

ĐO(M) = M’

Tham Khảo Thêm: Cách tính giá trị biểu thức - Bài tập tính giá trị của biểu thức lớp 3, 4, 5

Thì x’ = -x

y’ = -y

3.2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kỳ

Ngoài ra bạn cũng có thể tham khảo về các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản để có thể tiếp cận thêm nhiều kiến thức thú vị khác.

4. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa: điểm O còn được gọi là tâm đối xứng của hình ℋ nếu phép đối xứng tâm O biến ℋ thành chính nó.

Ví dụ trong thực tế

Tâm đối xứng của một vài hình phẳng

* Phương pháp tìm tâm đối xứng của một hình

Nếu hình đã cho là một đa giác thì sử dụng tính chất: Một đa giác có tâm đối xứng O thì qua phép đối xứng tâm O mỗi đỉnh của nó phải trở thành một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của nó phải biến thành một cạnh của đa giác song song và bằng cạnh ấy.

Nếu như hình đã cho không hẳn là một đa giác thì ta sẽ sử dụng định nghĩa.

Để xem thêm những bài giảng khác như Tính tổng các hệ số trong khai triển.

5. Một vài dạng bài tập về phép đối xứng tâm từ căn bản đến nâng cao (có lời giải)

5.1. Dạng 1: tìm hình ảnh của một điểm qua phép đối xứng tâm

Phương pháp: sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

Gọi M’(x’; y’) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng tâm

nếu tâm đối đối xứng là gốc tọa độ O (0; 0)

x’ = − x

y’ = − y

nếu tâm đối đối xứng là gốc tọa độ I(a; b)

x’ = 2a − x

y’ = 2b − y

VD1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ảnh của điểm M(-2021; 2022) qua phép đối xứng tâm O(0; 0) là:

a. M’(2021; 2022)

b. M’(2021; -2022)

c. M’(-2021; 2022)

d. M’(-2021; -2022)

Giải

Qua phép đối xứng tâm O, có M’(x’, y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O

Ta có biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm O là:

x’ = -x = 2021

y’ = -y = -2022

M’(2021; -2022)

Chọn đáp án B

VD2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ảnh của điểm M(1; -6) qua phép đối xứng tâm I(-2; 5) là:

a. M’(-5; 16)

b. M’(5; -16)

c. M’(-4; 3)

d. M’(4; -3)

Giải

Qua phép đối xứng tâm I giả sử điểm M’(x’, y’) là ảnh của M

Ta có biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm I là:

x’ = 2a – x

y’ = 2b – y

⇔ x’ = 2 . (-2) – 1

y’ = 2 . 5 – (-6)

⇔ x’ = -5

y’ = 16

Xem thêm : Công thức nhị thức niu tơn: Khai triển & Bài tập Toán 11 trọn bộ

⇒ M’(-5; 16)

⇒ Chọn đáp án A

5.2. Dạng 2: Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm

Phương pháp: dựa vào phẩm chất phép đối xứng tâm sẽ biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

Tham Khảo Thêm: Giải bài 64 trang 33 sgk toán 9 tập 1

– Bước 1: thu thập hai điểm bất kì thuộc đường thẳng đó.

– Bước 2: tìm hình ảnh qua phép đối xứng tâm của hai điểm đã thu thập từ bước 1.

– Bước 3: Từ hai điểm thuộc đường thẳng ta sẽ viết được phương trình đường thẳng cần tìm.

VD1: Cho đường thẳng d thuộc mặt phẳng Oxy có phương trình:

x + 2y + 4 = 0. Vận dụng phép đối xứng tâm O(0;0), tìm hình ảnh của đường thẳng d

a. X + y + 4 = 0

b. X + y – 4 = 0

c. X + 2y – 4 = 0

d. 2X + 3y + 4 = 0

Giải

Ta có phương trình d là x + 2y + 4 = 0,

lấy 2 điểm A(0; -2), B(-4; 0)

Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh qua phép đối xứng tâm O của A, B. lúc đó ta có:

xA′=−xA=0

yA′=−yA=2

⇒⇒ A’(0, 2)

Tương tự:

xB′=−xB=4

yB′=−yB=0

⇒⇒ B’(4, 0)

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O. lúc đó, theo phẩm chất của phép đối xứng tâm thì d’ sẽ đi qua hai điểm A’ và B’.

Suy ra A′B′ là vectơ chỉ phương của d’

Ta có: A′B′(4;−2)⇒ n(1;2)

Phương trình đường thẳng d’ là:

1(x – 0) + 2(y – 2) = 0

⇒ x + 2y – 4 = 0

⇒ Chọn đáp án C

VD2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình là

3x – 4y + 6 = 0, điểm I(2; -4). Viết phương trình đường thẳng d’ biết d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

a. 3X + 2y + 34 = 0

b. -3X + 2y + 34 = 0

c. 2X + 3y – 34 = 0

d. -2X + 3y – 34 = 0

Giải

Ta có phương trình d là 3x – 2y + 6 = 0,

Lấy 2 điểm A(0; 3), B(-2; 0)

Sử dụng phép đối xứng tâm I, ta gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B. lúc đó biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm I là:

xA′=2a−xA

yA′=2b−yA

⇔ xA′=2.2−0

yA′=2.(−4)−3

⇔ xA′=4

yA′=−11

⇒⇒ A’(4, -11)

Tương tự:

xB′=2a−xB

yB′=2b−yB

⇔ xB′=2.2+2

yA′=2.(−4)−0

⇔ xA′=6

yA′=−8

⇒⇒ B’(6, -8)

Dùng phép đối xứng tâm I ta có d’ là ảnh của d. khi đó, d’ sẽ đi qua hai điểm A’ và B’.

Ta có: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯A′B′(2;3)⇒¯n(−3;2)

Phương trình đường thẳng d’ là:

-3(x – 4) + 2(y + 11) = 0

⇒−3x+2y+34=0

⇒ Chọn đáp án B

Xem thêm: Công thức nhị thức niu tơn

5.3. Dạng 3: Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm

Phương pháp: dựa vào việc biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính của phép đối xứng tâm.

– Bước 1: Tìm bán kính và tâm của đường tròn.

– Bước 2: dùng phép đối xứng tâm tìm hình ảnh của tâm đường tròn.

– Bước 3: Viết phương trình đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đề bài và có tâm vừa tìm được ở trên.

Tham Khảo Thêm: Công thức giới hạn của hàm số

Xem thêm : Công thức tìm hệ số trong khai triển – Bài tập có đáp án chi tiết

VD1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): (x−1)2+(y+3)2=16 qua phép đối xứng tâm O(0; 0).

a. (x+1)2+(y−3)2=16

b. (x−1)2+(y+3)2=16

c. (x−1)2+(y+3)2=9

d. (x+1)2+(y−3)2=9

Giải

Gọi tâm và bán kính của đường tròn (C) lần lượt là I và R

Ta có phương trình (C): (x−1)2+(y+3)2=16

Suy ra: tọa độ I(1; -3), R = 4

Gọi tâm và bán kính của đường tròn (C’) lần lượt là I’ và R’

Theo phẩm chất của phép đối xứng tâm O, ta có

R’ = R = 4

Biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm O là:

x’ = – x = -1

y’ = – y = 3

⇒⇒ I’(-1; 3)

Suy ra phương trình đường tròn (C’) là:

(x+1)2+(y−3)2=16

⇒ Chọn đáp án A

VD2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2+y2+2x−4y+1=0 điểm A(1; 2). tìm hình ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A.

a. (x+3)2+(y+2)2=4

b. (x−3)2+(y+2)2=4

c. (x+3)2+(y−2)2=4

d. (x−3)2+(y−2)2=4

Giải

Gọi tâm và bán kính của đường tròn (C) lần lượt là I và R

Ta có phương trình (C):

x2+y2+2x−4y+1=0

⇔ (x2+2x+1)+(y2−4y+4)+1−1−4=0

⇔ (x+1)2+(y−2)2=4

Suy ra: I(-1; 2) và R = 2

Gọi tâm đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A có tâm và bán kính lần lượt là I’ và R’

Ta có:

R’ = R = 2

Biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm A là:

x’ = 2a – x

y’ = 2b – y

⇔ x’ = 2 . 1 + 1

y’ = 2 . 2 – 2

⇔ x’ = 3

y’ = 2

⇒⇒ I’(3; 2)

Suy ra phương trình đường tròn (C’) là:

(x−3)2+(y−2)2=4

⇒⇒ Chọn đáp án D

Và đó là thông tin và bài tập cũng như lời giải lời giải chi tiết về phép đối xứng tâm thuộc chương trình Toán 11. hy vọng các em có thể đọc thêm và vận dụng tốt bài giảng này để đạt điểm cao trong các kỳ thi sắp tới. Hi vọng thcsmacdinhchi.edu.vn đã giúp ích được cho bạn.