Công thức tính Lim giới hạn lớp 11: Cách bấm máy tính Lim & Bài tập

Khi giải các bài toán liên quan đến giới hạn của hàm số, việc biết cách tính giới hạn là kiến thức quan trọng. Điều này giúp chúng ta xác định công thức tính Lim của hàm số một cách chính xác và hiệu quả. Dưới đây là các công thức tính Lim giới hạn của hàm số. Ngoài ra hãy cùng tìm hiểu về Công thức tính khoảng cách để hiểu thêm về kiến thức hữu ích khác liên quan đến toán học nữa nhé!

Lim là gì? Giới hạn Lim là gì?

“Lim” là viết tắt của từ “limit” trong tiếng Anh, có nghĩa là ranh giới. Trong toán học về công thức tính Lim, “lim” được sử dụng để biểu thị giá trị mà một hàm hoặc một chuỗi tiến tới khi biến tương ứng tiến gần đến một giá trị nhất định.

Bạn đang xem: Công thức tính Lim giới hạn lớp 11: Cách bấm máy tính Lim & Bài tập

Xem thêm Cách tính giá trị biểu thức để tìm hiểu thêm về các kiến thức toán.

Giới hạn Lim của hàm số, Cách tính giới hạn Lim và bài tập tính Lim

Cách tính giới hạn Lim hữu hạn

Tính công thức tính Lim giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực

Tính giới hạn Lim 1 bên

Tham khảo thêm: Z là tập hợp số gì

Bài tập thực hành công thức tính Lim giới hạn

Ví dụ 8: Tìm công thức tính Lim giới hạn sau:

Mối quan hệ giữa giới hạn Lim một bên và giới hạn Lim tại một điểm

Bảng các công thức tính giới hạn của hàm số

Một số cách tính giới hạn hàm số thủ công bằng tay

Cách tính giới hạn Lim của một dãy số

Cách 1: Sử dụng Định nghĩa Công thức tính Lim để Tìm Giới hạn của Dãy số có Giới hạn bằng 0

Cách 2: Tìm giới hạn của dãy số bằng Công thức tính Lim

Các công thức phổ biến để tính giới hạn của hàm số bao gồm:

Những Công thức tính Lim này có thể được biến đổi thành nhiều dạng khác nhau nhưng bản chất của chúng vẫn không thay đổi.

Cách 3: Sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn hữu hạn

Cách 4: Sử dụng các giới hạn và định lý đặc biệt để giải các bài toán giới hạn cho dãy số

• Chúng ta thường gặp các dạng giới hạn như:

• Nếu biểu thức có dạng phân số với tử số và mẫu số chứa lũy thừa n, hãy chia cả tử số và mẫu số cho n^k, trong đó k là số mũ cao nhất trong mẫu số.
• Nếu biểu thức chứa các căn thức, bạn có thể cần nhân với một số liên hợp để đơn giản hóa nó về dạng cơ bản.

Cách 5: Áp dụng công thức tính tổng chuỗi hình học, tính giới hạn và biểu diễn số thập phân vô hạn lặp lại dưới dạng phân số

• Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là |q| < 1
• Một chuỗi hình học có vô số số hạng (Un)

S = u1 + u2 + u3 + u4 + … + un = u1 / (1 – q)

• Tất cả các số thập phân có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10.

Câu 6: Tìm giới hạn ở vô cực của dãy số bằng định nghĩa

Cách 7: Tìm Giới hạn của Dãy số Sử dụng Định lý và Quy tắc Tính Giới hạn tại Vô cực

Chứng minh công thức tính Lim dãy số có giới hạn

Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:

• Nếu một dãy (un) tăng và bị chặn từ trên thì nó có giới hạn.
• Nếu một dãy (un) giảm dần và bị chặn từ dưới lên thì nó có giới hạn.

Chứng minh tính tăng và tính bị chặn:

Để chứng minh một dãy số tăng và bị chặn ở trên (hoặc giảm và bị chặn ở dưới) bởi một số M, ta tính các số hạng đầu của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (hoặc giảm) và giá trị của M.

Để tính giới hạn của dãy số, chúng ta sử dụng một trong các phương pháp sau:

Phương pháp 1

Giả sử lim un = a. Từ lim u(n+1) = lim f(un), ta thu được phương trình chứa ẩn số a.

Xem thêm : Z là tập hợp số gì? Số nguyên là gì? Các VÍ DỤ tập hợp Z có đáp án

Giải phương trình để tìm giới hạn của dãy. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó là giới hạn. Nếu có nhiều nghiệm thì sử dụng tính chất của dãy để xác định giới hạn.

Chú ý: Giới hạn của dãy nếu tồn tại là duy nhất.

Phương pháp 2:Tìm công thức tổng quát un của dãy thông qua dự đoán. Chứng minh công thức tổng quát bằng phương pháp quy nạp Toán Học. Tính giới hạn của dãy bằng cách sử dụng công thức tổng quát dẫn xuất.

Cách tính giới hạn Lim hàm số

Để tính giới hạn của hàm, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp:

• Sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn
• Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức
• Sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn một phía
• Sử dụng các định lý và quy tắc để tìm giới hạn một phía
• Tính giới hạn ở vô cực
• Tìm giới hạn của hàm số ở dạng 0/0
• Các dạng không xác định

Dưới đây là một số công thức cơ bản để tính giới hạn:

 

Dùng công thức tính Lim hàm này tính giới hạn hàm kia

Giả sử chúng ta đã biết giới hạn của hàm f(x) khi x tiến tới a. Nếu hàm g(x) có thể được biểu diễn dưới dạng g(x) = (f(x) – b)/(x – a), trong đó b là số hữu hạn, thì giới hạn của hàm g(x) là x tiến tới a cũng bằng giá trị của f'(a), nghĩa là:

limx→a g(x) = f'(a) = limx→a [f(x) – b]/[x – a]

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = x^2 + 3x – 2 và hàm g(x) = (x^2 – 1)/(x – 1). Chúng ta muốn tính giới hạn của hàm g(x) khi x tiến đến 1. Chúng ta có thể thấy rằng g(x) có thể được biểu diễn dưới dạng g(x) = f(x) + 2/(x – 1), vì vậy:

limx→1 g(x) = limx→1 [f(x) + 2/(x – 1)] = f'(1) = 5

Công thức 2: Sử dụng quy tắc giới hạn để tính giới hạn của hàm số

Các quy tắc giới hạn cơ bản cho các hàm như hàm số mũ, hàm lượng giác, hàm logarit, hàm căn bậc hai, v.v., cũng có thể được sử dụng để tính giới hạn của một hàm phức tạp hơn. Để sử dụng các quy tắc này, chúng ta cần chia hàm thành các thành phần cơ bản rồi áp dụng các quy tắc tương ứng để tính giới hạn.

Sử dụng khai triển Taylor cho công thức tính Lim (giới hạn)

Trong một số trường hợp, chúng ta có thể sử dụng khai triển Taylor để tính giới hạn của hàm số. Khai triển Taylor cho phép chúng ta biểu diễn bất kỳ hàm số nào dưới dạng một chuỗi đa thức tại một điểm cụ thể. Để tính giới hạn của hàm số, chúng ta chỉ cần tính giới hạn của các đa thức này. Ví dụ:

Giới hạn của hàm số f(x) = (sin x)/x khi x tiến đến 0. Ta có:

f(x) = 1 – x^2/3! + x^4/5! – … = Σn=0 (-1)^n x^(2n)/(2n + 1)!

Cách bấm máy tính Lim (giới hạn) cho công thức tính Lim lớp 11

• Bước 1: Đầu tiên, nhập biểu thức vào máy tính.
• Bước 2: Sử dụng hàm tính toán để gán giá trị cho biểu thức.
• Bước 3: Lưu ý gán các giá trị theo bên dưới:
  • Đối với giới hạn tiến tới vô cực dương, hãy gán một số như 100000.
  • Đối với giới hạn tiến tới âm vô cực, hãy gán một số như -100000.
  • Đối với giới hạn tiến gần đến 0, hãy chỉ định một số như 0,00000001.
  • Đối với giới hạn cụ thể như +3, hãy gán 3,000000001 và đối với -3, hãy gán 2,9999999999.

Phép tính giới hạn là một dạng bài toán cơ bản, mặc dù chúng vẫn xuất hiện trong các kỳ thi quốc gia ở bậc trung học. Điều cần thiết là đảm bảo tính chính xác khi giải chúng. Bạn có thể sử dụng máy tính Casio để tính toán nhanh chóng và chính xác.

Tìm công thức tính Lim giới hạn vô cùng của một dãy số

Tìm công thức tính Lim vô hạn của một dãy bằng cách sử dụng định nghĩa

Giới hạn của một dãy là giá trị mà các phần tử của dãy tiến tới khi số phần tử trong dãy có xu hướng tiến tới vô cùng. Nếu giới hạn của dãy tiến tới vô cùng thì ta gọi đó là giới hạn vô hạn.

Để tìm giới hạn vô hạn của một dãy bằng định nghĩa, chúng ta cần kiểm tra xem dãy đó có dao động hay không. Nếu chuỗi không dao động và các giá trị của chuỗi có xu hướng tiến tới vô cùng khi số phần tử trong chuỗi tiến tới vô cùng thì giới hạn của chuỗi là vô cùng.

Tìm công thức tính Lim giới hạn vô hạn của một dãy bằng các định lý và quy tắc

Để tìm giới hạn của một dãy số, chúng ta có thể sử dụng các định lý và quy tắc liên quan đến giới hạn. Một trong những định lý phổ biến được sử dụng để chứng minh tính chất của giới hạn là định lý Bolzano-Weierstrass.

Chứng minh dãy số có giới hạn:

Áp dụng định lý Bolzano-Weierstrass, nếu dãy (un) tăng và bị chặn ở trên thì nó có giới hạn. Nếu dãy (un) giảm dần và bị chặn bên dưới thì nó cũng có giới hạn. Để chứng minh tính chất và giới hạn tăng hoặc giảm, bạn có thể làm theo các bước sau:

Tính công thức tính Lim hàm số dạng xác định

Nếu hàm số f(x) được xác định tại điểm, hãy thay điểm đó vào biểu thức dưới ký hiệu lim để tìm kết quả mong muốn.

Ta chỉ việc thay x=2 vào biểu thức trong dấu lim ta được -1/4. Và đó chính là kết quả của giới hạn trên.

Tìm cách tính giới hạn lim hàm số dạng bất định

Xem thêm : Tính 10+ Công thức tính khoảng cách trong Oxyz lớp 10, 12

Đối với các dạng không xác định, chúng tôi tập trung vào các trường hợp phổ biến:

Tìm cách tính giới hạn hàm số ở dạng 0/0

Đối với dạng 0/0, có hai loại: dạng không có gốc và dạng có gốc.

Các dạng không có căn thức bao gồm các dạng giới hạn đặc biệt và các phân số trong đó cả tử số và mẫu số đều là đa thức.

Giới hạn đặc biệt dạng 0 trên 0 được đề cập đến trong chương trình phổ thông hiện nay là:

 

Các dạng giới hạn đặc biệt với đa thức trên đa thức được giải quyết bằng cách phân tích nhân tử bằng sơ đồ Hoočner.

Ta thấy x=1 là nghiệm của cả tử số và mẫu số. Ta dùng lược đồ Hoocner để phân tích tử số và mẫu số.

 

Tuy nhiên, đối với các dạng có căn thức, chúng ta nhân cả tử số và mẫu số bằng biểu thức liên hợp để đơn giản hóa chúng về dạng chuẩn.

Với căn bậc 3 ta cũng làm tương tự.

Ta có:

Trong trường hợp giới hạn có cả căn bậc 2 và căn bậc 3 thì ta thêm bớt 1 lượng để đưa về tổng hiệu của 2 giới hạn dạng 0 trên 0.

Tìm công thức tính Lim giới hạn vô cùng trên vô cùng

Đối với dạng giới hạn của vô cực trên vô cực (vô cực chia cho vô cực), ta chia cả tử số và mẫu số cho x có lũy thừa lớn nhất của mẫu số. Lưu ý rằng khi x tiến tới âm vô cực, dấu có thể dễ bị nhầm lẫn. Cụ thể khi chèn x vào căn bậc hai phải đảm bảo dấu âm ở ngoài.

Công thức tính Lim giới hạn của vô cùng – (trừ) vô cùng

Trong trường hợp vô cực trừ vô cực, ta áp dụng hai phương pháp: nhóm theo lũy thừa cao nhất hoặc sử dụng liên hợp. Chọn phương pháp thuận tiện hơn cho vấn đề cụ thể.

Trong trường hợp vô cực trừ vô cực, ta áp dụng hai phương pháp: nhóm theo lũy thừa cao nhất hoặc sử dụng liên hợp. Chọn phương pháp thuận tiện hơn cho vấn đề cụ thể.

Bài này giống bài trên đều là dạng vô cùng trừ vô cùng. Nhưng ta lại để ý là hệ số bậc cao nhất trong 2 căn là khác nhau. Vì vậy bài này chúng ta nên nhóm nhân tử chung.

Công thức tính Lim dạng 1 lũy thừa vô cực

Đối với dạng giới hạn từ 1 lũy thừa vô cực, chúng tôi tính toán nó bằng một giới hạn cụ thể:

Công thức tính Lim giới hạn dạng 0 nhân vô cùng

Về bản chất, dạng giới hạn 0 nhân vô cực có thể chuyển thành dạng 0 trên 0 hoặc vô cực trên vô cực thông qua một số phép biến đổi như đã đề cập ở đầu bài. Đối với loại giới hạn này, ta nên chuyển nó sang dạng xác định hoặc một trong các dạng không xác định đã nêu ở trên, tùy theo bài toán cụ thể.

Các dạng và các chủ đề nâng cao trong công thức tính Lim lớp 11

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.

Dạng 1: Sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn của dãy có giới hạn bằng 0.
Dạng 2: Vận dụng định lý tìm giới hạn của dãy có giới hạn bằng 0.
Dạng 3: Sử dụng các giới hạn và định lý đặc biệt để giải các bài toán giới hạn về dãy số.
Dạng 4: Sử dụng công thức tính tổng của chuỗi hình học vô hạn để tính giới hạn và biểu diễn số thập phân vô hạn lặp lại dưới dạng phân số.
Dạng 5: Tìm giới hạn ở vô cùng của dãy số bằng định nghĩa.
Dạng 6: Tìm giới hạn của dãy số bằng các định lý và quy tắc tính giới hạn ở vô cực.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}

BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ

Dạng 1: Sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn.
Dạng 2: Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức.
Dạng 3: Sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn một phía.
Dạng 4: Sử dụng định lý và quy tắc để tìm giới hạn một phía.
Dạng 5: Tính giới hạn ở vô cực.
Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0.
Dạng 7: Dạng không xác định.
Dạng 8: Dạng không xác định.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Dạng 1. Phân tích tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0.
Dạng 2: Phân tích tính liên tục của hàm số tại một điểm.
Dạng 3: Phân tích tính liên tục của hàm số trên khoảng K.
Dạng 4: Tìm điểm gián đoạn của hàm f(x).
Dạng 5: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm.
Bản tóm tắt

VIDEO bài giảng công thức tính Lim lớp 11 giới hạn SGK cơ bản

Tổng kết

Đây là những nguyên tắc cơ bản của việc tìm công thức tính Lim giới hạn và các dạng bài tập liên quan đến giới hạn. Chúng tôi hy vọng rằng bài viết này sẽ hữu ích cho bạn trong quá trình học tập. Ngoài ra, hãy theo dõi trang THCS Mạc Đĩnh Chi của chúng tôi để đọc được những kiến thức, công thức được cập nhật mới nhất!

Nguồn: https://thcsmacdinhchi.edu.vn
Danh mục: Toán Học