công thức tính khoảng cách

Tính 10+ Công thức tính khoảng cách trong Oxyz lớp 10, 12

Các công thức tính khoảng cách giữa hai điểm và các thực thể hình học khác nhau như mặt phẳng và đường thẳng được sử dụng rộng rãi trong hình học không gian. Bài viết này nhằm mục đích cung cấp cho bạn cái nhìn tổng quan toàn diện về các công thức tính khoảng cách phổ biến được sử dụng hiện nay. Hãy đánh dấu những công thức này và áp dụng vào thực tế ngay nhé!

Hãy tham khảo thêm về Cách tính giá trị biểu thức để bạn có thể cập nhật thêm nhiều kiến thức về toán học khác nữa nhé!

Khoảng cách là gì?

Khoảng cách là một đại lượng vật lý và toán học dùng để đo độ dài của một đoạn thẳng giữa hai điểm.

Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta sử dụng thuật ngữ “khoảng cách” để chỉ độ dài của một đường đi, có thể không nhất thiết phải là một đường thẳng lý tưởng. (Chính xác hơn, tất cả các điểm khác biệt trên bề mặt Trái đất đều được kết nối bằng một đường cong chứ không phải đường thẳng.) Trong kinh tế, vận tải và hậu cần, ‘khoảng cách’ dùng để chỉ chiều dài của một con đường (bằng đường bộ hoặc đường biển) hoặc một tuyến đường hàng không, dùng làm giá trị để tính toán tối ưu hóa chi phí cho vận tải hàng hóa và hành khách.

Không giống như vị trí trong hệ tọa độ, khoảng cách là đại lượng vô hướng. Nó chỉ có độ lớn và không có hướng, không giống như các đại lượng vectơ.

Đơn vị đo khoảng cách tiêu chuẩn trong khoa học là mét (m) và bội số hoặc phân số của nó. Tuy nhiên, trong cuộc sống hằng ngày, người ta thường coi thời gian là phương tiện để đo khoảng cách. Ví dụ: ‘Khoảng cách giữa Hà Nội và Hải Phòng là 2 giờ lái xe.

Tham khảo thêm nhiều về Z là tập hợp số gì để tiếp nhận thêm nhiều kiến thức mới.

Khái niệm công thức tính khoảng cách

Trong khoa học, công thức là cách trình bày thông tin chính xác bằng ký hiệu. Công thức khoảng cách bao gồm nhiều phương pháp khác nhau để tính khoảng cách từ vị trí này đến vị trí khác, chẳng hạn như khoảng cách giữa hai điểm hoặc khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng.

Khái niệm công thức tính khoảng cách

Công thức tính khoảng cách được áp dụng rộng rãi trong cả hình học phẳng và không gian. Có nhiều loại công thức khoảng cách, học sinh có thể linh hoạt vận dụng công thức thích hợp để giải bài toán và tìm ra đáp án đúng.

Xem thêm: Công thức tính lim

Tổng hợp các công thức khoảng cách trong Oxyz

Ở đây, chúng tôi đã biên soạn một số công thức khoảng cách được sử dụng phổ biến nhất. Đừng chờ đợi; hãy lưu ngay các công thức này để việc tính toán của bạn trở nên đơn giản và dễ dàng hơn bao giờ hết.

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) được định nghĩa là khoảng cách từ điểm A đến hình chiếu của nó (vuông góc) trên mặt phẳng (P). Được biểu thị bằng ký hiệu là d(M, (P)), bạn có thể tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng công thức sau:

Trong không gian XYZ, cho điểm M(α; β; γ) trên mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0, công thức khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), trong đó ax + by + cz + d = 0, như sau:

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớp 12

Đối với đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm N (x0; y0), khoảng cách từ điểm N đến đường d được biểu diễn dưới dạng d(N; d).

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Lưu ý: Trong ví dụ được cung cấp, dòng d không có dạng tổng quát. Trước khi áp dụng công thức, bạn cần chuyển đường thẳng d về dạng tổng quát y = ax + b.

Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Trong không gian ba chiều, hai đường thẳng có thể ở bốn vị trí tương đối: trùng nhau, song song, lệch hoặc chéo nhau, cắt nhau. Khi hai đường thẳng song song hoặc lệch nhau, bạn vẫn có thể tính được khoảng cách giữa chúng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường này đến đường kia.

Tham Khảo Thêm:  Cách Giải Rubik 5x5: Hướng Dẫn Chi Tiết Cho Người Mới Bắt Đầu

Khi xử lý hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau, cắt nhau, bạn vẫn có thể tính được khoảng cách giữa chúng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng được xác định bằng cách đo khoảng cách từ bất kỳ điểm nào trên đường này đến đường kia.

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Tính công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm

Tính khoảng cách giữa hai điểm tùy ý về cơ bản liên quan đến việc tìm độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm đã cho. Tuy nhiên, bạn cần lưu ý rằng khoảng cách giữa hai điểm không nhất thiết phải là độ dài của một đường thẳng và cũng có thể không phải là độ dài của bất kỳ đoạn thẳng vuông góc nào.

Dựa vào nguyên lý trên, ta có công thức tính khoảng cách giữa hai điểm tùy ý:

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm

Công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song rất đơn giản khi bạn biết phương trình của cả hai mặt phẳng. Dưới đây là công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Các công thức tính khoảng cách trong không gian rất dễ áp dụng khi bạn hiểu được bản chất của vấn đề. Nói chung chỉ có một số công thức cụ thể, từ gợi ý ban đầu các bạn có thể giải nhanh để có đáp án.

Công thức tính khoảng cách từ ảnh đến thấu kính

Để tính khoảng cách từ ảnh đến thấu kính, bạn cần thông tin về tiêu cự của thấu kính và kích thước của ảnh.

Công thức tính khoảng cách từ ảnh đến thấu kính như sau:

d = f * (s – s’) / s’

Trong đó:

  • d biểu thị khoảng cách từ hình ảnh đến ống kính, được đo bằng đơn vị như mét hoặc inch.
  • f là tiêu cự của thấu kính, được đo bằng đơn vị như mét hoặc inch.
  • s là kích thước thực tế của vật thể, được đo bằng đơn vị như mét hoặc inch.
  • s’ là kích thước của hình ảnh, được đo bằng đơn vị như mét hoặc inch.

Xin lưu ý rằng công thức này áp dụng khi ảnh được tạo trên mặt phẳng tiêu chuẩn của thấu kính, nghĩa là nó nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục quang của thấu kính. Nếu hình ảnh không được hình thành trên mặt phẳng này, cần phải xem xét các yếu tố bổ sung để tính toán khoảng cách chính xác hơn.

Công thức khoảng cách trong không gian ba chiều

Để xác định khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều, bạn có thể sử dụng công thức sau:

d = sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2)

Ở đâu:

  • (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) là tọa độ của hai điểm trong không gian ba chiều.
  • sqrt là hàm căn bậc hai, dùng để tính độ dài đoạn thẳng nối hai điểm.

Công thức này tính khoảng cách giữa hai điểm bằng cách tìm độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Công thức này có thể áp dụng cho hai điểm bất kỳ trong không gian ba chiều.

Lưu ý rằng công thức này cũng có thể được sử dụng để tính khoảng cách giữa một điểm và một tập hợp các điểm trong không gian. Trong trường hợp đó, bạn chỉ cần tính khoảng cách giữa điểm đó với từng điểm trong tập hợp, sau đó chọn khoảng cách nhỏ nhất.

Công thức khoảng cách giữa các số

Nếu muốn tính Công thức tính khoảng cách giữa các số, có thể bạn sẽ nghĩ đến khái niệm khoảng cách trong toán học, cụ thể là khoảng cách giữa hai số trên trục số. Trong trường hợp này, bạn có thể sử dụng công thức sau để tính khoảng cách giữa hai số a và b:

d = |b – a|

Trong đó:

|b – một| là giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số a và b.

Công thức này cho bạn khoảng cách giữa hai điểm trên trục số, chính là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đó. Công thức này có thể áp dụng cho hai số bất kỳ trên trục số.

Nếu bạn muốn tính khoảng cách giữa các số trong tập dữ liệu, chẳng hạn như tính khoảng cách giữa các điểm dữ liệu, bạn sẽ cần sử dụng các phương pháp thống kê như phương sai, độ lệch chuẩn hoặc khoảng cách Mahalanobis.

Tham Khảo Thêm:  Công thức phép vị tự hay nhất | Bài tập có lời giải Toán 11

Công thức khoảng cách giữa các điểm cực trị

Không có công thức chung nào để tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị mà không có thông tin cụ thể về bài toán cụ thể.

Điểm cực trị trong toán học có thể là cực đại hoặc cực tiểu của hàm số. Để tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị, bạn cần có thông tin cụ thể về hàm số đã cho.

Đối với các hàm đơn giản như hàm tuyến tính hoặc hàm bậc hai, bạn có thể sử dụng các phương trình đường hoặc đường cong tương ứng để tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị. Tuy nhiên, đối với các hàm phức tạp hơn, việc tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị có thể yêu cầu các phương pháp toán học nâng cao như đạo hàm, tích phân hoặc giải phương trình đặc trưng.

Vì vậy, để tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị, bạn cần có thông tin cụ thể về hàm số và bài toán cụ thể mà bạn đang giải quyết.

Các ví dụ công thức tính khoảng cách cơ bản có lời giải

Dưới đây là 5 công thức tính khoảng cách quan trọng trong Toán Học. Để ghi nhớ và áp dụng chúng một cách hiệu quả, các bạn hãy cùng luyện tập giải một số bài tập cơ bản dưới đây nhé.

Bài tập 1

Trong không gian 3D Oxyz có hai mặt phẳng có phương trình:
(α): x – 2y + z + 1 = 0
(β): x – 2y + z + 3 = 0.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
Hướng dẫn:

Các bài tập tính khoảng cách cơ bản có lời giải

Bài tập 2

Hai mặt phẳng (α) // (β) cách nhau 3 cm. Phương trình của các mặt phẳng này được cho như sau:
(α): 2x – 5y – 3z + 1 = 0
(β): ax + by + cz + d2 = 0
Xác định các hệ số a, b, c của phương trình mặt phẳng (β).
Hướng dẫn:

Các bài tập tính khoảng cách cơ bản có lời giải

Bài tập 3

Trong mặt phẳng xy có hai điểm có tọa độ A(3; 5) và B(2; 7). Xác định độ dài đoạn thẳng AB trong mặt phẳng tọa độ xy. Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B là khoảng cách giữa hai điểm A và B.

Hướng dẫn:

Các bài tập tính khoảng cách cơ bản có lời giải

III. Công thức tính khoảng cách từ 2 điểm và điểm đến đường thẳng bằng ví dụ minh họa

* Ví dụ 1: Trong mặt phẳng xy, ta có điểm A(1, 2) và điểm B(-3, 4). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

* Lời giải:

Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B, được tính như sau:

 

* Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(2, -1) đến đường thẳng (Δ): 3x + 4y + 7 = 0.

* Lời giải:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Δ) là:

* Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm A(0, 1) đến đường thẳng (Δ): 4x + 3y = 6.

* Lời giải:

Đường thẳng (Δ): 4x + 3y = 6 ⇔ 4x + 3y – 6 = 0

Khoảng cách từ điểm A đến (Δ) là:

* Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ điểm M(1, 1) đến đường thẳng (Δ) xác định bởi phương trình tham số: x = 3 + 3t và y = 2 + t.

* Lời giải:

Để tìm khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Δ), trước tiên chúng ta cần chuyển phương trình của đường thẳng (Δ) về dạng tổng quát.

Ta có: Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A(3, 2) và có vectơ chỉ phương

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng (Δ): 1.(x – 3) – 3(y – 2) = 0 ⇔ x – 3y + 3 = 0

⇒ Khoảng cách từ điểm M(1, 1) đến đường thẳng (Δ) là:

* Ví dụ 5: Đường tròn (C) có tâm tại gốc O(0, 0) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): 4x – 3y + 25 = 0. Xác định bán kính R của đường tròn (C).

* Lời giải:

Vì đường thẳng (Δ) tiếp tuyến với đường tròn (C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng (Δ) bằng bán kính R của đường tròn.

* Ví dụ 6: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (d1): x – 3y + 4 = 0 và (d2): 2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng (∆): 3x + y + 16 = 0.

* Lời giải:

Đầu tiên chúng ta cần tìm giao điểm của (d1) và (d2); sau đó tính khoảng cách từ giao điểm này đến (∆).

Giả sử giao điểm của (d1) và (d2) là điểm A và tọa độ của nó là nghiệm của hệ phương trình:

x – 3y + 4 = 0 và 2x + 3y – 1 = 0

Giải hệ ta có x = -1 và y = 1 ⇒ A(-1, 1)

Tham Khảo Thêm:  Công thức hàm số lượng giác đầy đủ nhất kèm bài tập

Khoảng cách từ điểm A(-1, 1) đến đường thẳng (∆): 3x + y + 16 = 0 là:

 

* Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ xy, xét tam giác ABC có A(1, 1); B(0, 3); và C(4, 0).

a) Tính độ dài đường cao AH (H trên BC).

b) Tính diện tích tam giác ABC.

* Lời giải:

a) Tính độ dài đường cao AH.

Độ dài đường cao AH là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC. Vì vậy, ta cần viết phương trình đường thẳng BC và tính khoảng cách từ A đến BC.

Phương trình đường thẳng BC: Đi qua B(0, 3) và có hệ số định hướng BC(xC – xB; yC – yB) = (4, -3) nên vectơ chỉ phương là n(3, 4).

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng (BC): 3(x – 0) + 4(y – 3) = 0 ⇔ 3x + 4y – 12 = 0

⇒ Chiều cao của tam giác vẽ từ đỉnh A bằng khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Ta có: SΔABC = (1/2).AH.BC

Độ dài BC là:

 

Vì AH = d(A;BC) = 1 (như đã tính ở phần a),
⇒ SΔABC = (1/2).AH.BC = (1/2).1.5 = 5/2 =2.5.

Do đó, việc tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (∆) tương đương với việc tìm độ dài đoạn thẳng MH (H là hình chiếu của M lên ∆, tức là MH ⊥ ∆).

Bài tập về công thức tính khoảng cách trong Oxyz lớp 10, 12

Cùng tìm hiểu một số bài tập tính Công thức tính khoảng cách trong không gian ba chiều và cách giải:

Bài tập 1: Tìm khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

Sử dụng công thức: d = sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2)

Giải: d = sqrt((4 – 1)^2 + (5 – 2)^2 + (6 – 3)^2) = sqrt(27) = 3*sqrt(3)

Bài tập 2: Tính khoảng cách từ điểm P(1, 2, 3) đến mặt phẳng (x – y + z = 4).

Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: n = (1, -1, 1)

Tìm độ dài của vectơ n: |n| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + 1^2) = sqrt(3)

Áp dụng công thức: d = |(P – Q). n| / |n|, trong đó Q là một điểm trên mặt phẳng. Chọn Q là (0, 0, 4) cho đơn giản.

Giải: d = |(1, 2, 3) . (0, 0, 4)| /sqrt(3) = 4sqrt(3) /sqrt(3) = 4.

Bài tập 3: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 với các phương trình sau: (x – 1)/2 = y/3 = (z + 2)/4 và (x – 3)/4 = y/2 = z/3.

Tìm vectơ chỉ phương của d1: v1 = (2, 3, 4)

Tìm vectơ chỉ phương của d2: v2 = (4, 2, 3)

Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với cả hai đường thẳng: n = v1 x v2 = (-5, 10, -10)

Tìm độ dài của vectơ n: |n| = sqrt((-5)^2 + 10^2 + (-10)^2) = 15

Áp dụng công thức: d = |(P2 – P1). n| / |n|, trong đó P1 là một điểm trên d1 và P2 là một điểm trên d2.

Hãy chọn P1 là (1, 0, -2) và P2 là (3, 0, 0) để đơn giản.

Lời giải: d = |(3 – 1, 0 – 0, 0 – (-2)) . (-5, 10, -10)| / 15 = 4/3.

Bài tập 4: Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng có các phương trình: (x – y + z = 1) và (2x – y + z = 3).

Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thứ nhất: n1 = (1, -1, 1)

Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thứ hai: n2 = (2, -1, 1)

Tính độ dài của vectơ n1: |n1| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + 1^2) = sqrt(3)

Áp dụng công thức: d = |(P2 – P1). n1| / |n1|, trong đó P1 là một điểm trên mặt phẳng thứ nhất và P2 là một điểm trên mặt phẳng thứ hai.

Hãy chọn P1 là (0, 0, 1) trên mặt phẳng thứ nhất và P2 là (1, 0, 1) trên mặt phẳng thứ hai.

Lời giải: d = |(1 – 0, 0 – 0, 1 – 1) . (1, -1, 1)| / sqrt(3) = 0 / sqrt(3) = 0.

Video hướng dẫn tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong Oxyz lớp 10

Tổng kết

Tôi chắc chắn rằng bài viết trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Công thức tính khoảng cách giữa các điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng qua bài viết này các bạn sẽ nhớ chính xác các công thức và thành thạo hơn trong việc vận dụng chúng khi giải toán. Hãy thường xuyên ghé thăm trang THCS Mạc Đĩnh Chi của chúng tôi và chúc bạn gặp nhiều may mắn với việc học của mình!

Similar Posts

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *