Công thức sin3x: Khai triển công thức lượng giác Sin3x = 3sinx - 4sin3x

Công thức sin3x thường được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực toán học và kỹ thuật. Đây là một công thức hữu ích để tính các giá trị sin của góc 3x dựa trên giá trị sinx. Nhờ công thức này, người học có thể dễ dàng thực hiện các phép tính và giải quyết các vấn đề liên quan đến lượng giác một cách thuận tiện. Công thức sin3x là một công cụ quan trọng giúp cho việc học tập và nghiên cứu trở nên tiện lợi và hiệu quả hơn.

Table of Contents

Công thức sin3x là gì?

Công thức sin3x là giá trị của hàm sin tại góc được biểu diễn bằng ba lần góc x. Để tính công thức sin3x, chúng ta sử dụng công thức sin3x = 3sinx – 4sin^3x.

sin3x = 3sinx – 4sin3x

Chứng minh công thức sin3x

Chúng ta bắt đầu chứng minh Công Thức Toán bằng cách biểu diễn sin3x dưới dạng tổng của sin(2x + x):

sin3x = sin(2x + x)

Tiếp theo, chúng ta áp dụng công thức sin(2x) = sin2x.cosx và sin(2x) = 2sinx.cosx:

sin3x = (sin2x.cosx) + (cos2x.sinx)

Chúng ta cộng thêm và rút gọn các thành phần:

sin3x = 2sinx.cosx.cosx + (2cos2x – 1).sinx

Tiếp theo, chúng ta sử dụng sin2x = 2sinx.cosx và cos2x = 2cos2x – 1:

sin3x = 2sinx.cos2x + 2cos2x.sinx – sinx

Chúng ta tiếp tục rút gọn:

sin3x = 4sinx.cos2x – sinx

Bây giờ, chúng ta sử dụng công thức cos2x = 1 – sin2x:

sin3x = 4sinx.(1 – sin2x) – sinx

Tiếp tục rút gọn:

sin3x = 4sinx – 4sinx.sin2x – sinx

Cuối cùng, chúng ta kết hợp các thành phần tương tự và thu được:

sin3x = (4sinx – sinx) – 4sinx.sin2x

Rút gọn thêm:

sin3x = 3sinx – 4sinx.sin2x

Điều này chứng minh công thức đã được chứng minh trong Các công thức lượng giác.

Cách tính công thức sin3x = 3sinx – 4sin3x?

Hãy cùng tìm hiểu về công thức sin3x = 3sinx – 4sin3x và cách chứng minh nó như sau:

Bắt đầu từ công thức sin(A + B) = sinA.cosB + cosA.sinB, chúng ta có: sin(2x + x) = sin2x.cosx + cos2x.sinx

Vì sin2x = 2sinx.cosx, chúng ta có thể thay thế vào phương trình trên: sin(2x + x) = 2sinx.cosx.cosx + cos2x.sinx

Sử dụng công thức cos2x = 2cos^2 x – 1, chúng ta có: sin3x = 2sinx.cos2x + (2cos2x – 1).sinx = 2sinx.(2cos^2 x – 1) + (2.(2cos^2 x – 1) – 1).sinx = 4sinx.cos^2 x – 2sinx + 4cos^2 x.sinx – 2sinx

Tiếp theo, chúng ta nhận thấy có các thành phần tương tự, và ta có thể rút gọn như sau: sin3x = 2sinx(2cos^2 x – 1) + 2sinx(2cos^2 x – 1) = 4sinx.(2cos^2 x – 1) = 8sinx.cos^2 x – 4sinx

Rút gọn tiếp: = 3sinx – 4sin3x

Như vậy, chúng ta đã chứng minh công thức sin3x = 3sinx – 4sin3x bằng cách trình bày các bước phân tích trên.

Xem thêm: Công thức nhân 3

Xác định hàm số y = sin3x

Tập xác định của hàm số y = sin3x

Tập xác định $D = \mathbb{R}$

Tập giá trị của y = sin3x

-1 ≤ sin3x ≤ 1

=> Giá trị lớn nhất của y = sin3x là 1

=> Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin3x là -1

Tính chẵn lẻ của hàm số y = sin3x

Với x ∈ D => -x ∈ D ta có:

y = sin3x

y(-x) = sin(-3x) = -sin(3x)

=> y(x) = – y(-x)

=> Hàm số là hàm số lẻ

Vậy hàm số y = sin3x là hàm số lẻ

Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y = sin3x

Hàm số y = sin3x tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{3}$

Công thức mở rộng:

Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}$

Xem thêm: Công thức sin4x

Biểu diễn đồ thị hàm số y = sin3x

$Cho hàm số $ y = \sin 3x$ có đồ thị ở hình 1; hỏi Hình 2 là đồ thị của hàm số nào?$

Tính đạo hàm công thức sin3x

Cho y = sin3x

=> y’ = (sin3x)’

=> y’ = (3x)’ . [cos(3x)]

=> y’ = 3.cos(3x)

Do đó, đạo hàm của y = sin3x là y’ = 3cos(3x).

Tính toán nguyên hàm công thức sin3x

$\int {\sin 3xdx = \frac{1}{3}\int {\sin 3xd\left( {3x} \right) = - \frac{1}{3}\cos 3x + C} }$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số y = sin3x là $\int {\sin 3xdx = - \frac{1}{3}\cos 3x + C}$

Công thức sin3x áp dụng phương trình lượng giác

Công thức sin3x có thể được ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình lượng giác. Ví dụ, khi cần giải phương trình sin3x = a, ta có thể sử dụng công thức sin3x = 3sinx – 4sin3x để chuyển phương trình thành dạng 4sin3x – 3sinx = -a, sau đó tiếp tục giải phương trình này bằng cách sử dụng các Công Thức Lượng Giác khác như Công thức cos3x. Công thức sin3x cũng có thể được áp dụng trong các bài toán liên quan đến việc tính toán các giá trị của các hàm số lượng giác.

Một số công thức liên quan công thức sin3x để tính bài toán lượng giác nâng cao

Chắc chắn rồi, có nhiều công thức lượng giác khác mà bạn cần biết để xử lý các bài toán lượng giác phức tạp. Dưới đây là một số công thức sin3x thường được sử dụng:

Công thức tổng: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)
Công thức chứng minh tam giác vuông: sin²(a) + cos²(a) = 1
Công thức chuyển đổi giữa độ và radian: ° = π/180
Công thức chuyển đổi giữa radian và độ: rad = 180/π Với những công thức này, bạn có thể áp dụng chúng để giải quyết các bài toán liên quan đến các hàm lượng giác như sin, cos và tan.

Tổng kết

công thức sin3x trong lượng giác là một công cụ hữu ích khi giải các bài toán có liên quan đến lượng giác. Sử dụng công thức này có thể giúp chúng ta giải quyết các bài toán khó hơn và nhanh chóng hơn. Tuy nhiên, việc áp dụng công thức này cần được thực hiện cẩn thận và phải biết khi nào nên sử dụng để tránh sai sót trong quá trình giải bài toán. Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm nhiều dạng kiến thức và bài tập khác trên ở THCS Mạc Đĩnh Chi của chúng tôi nhé!