Công thức nhân xác suất – Tổng hợp tinh gọn và đầy đủ

Cho A, B là hai biến cố.

Nếu A, B xung khắc mà đã biết B xảy ra thì A không thể xảy ra.

Nếu $B\subset A$mà đã biết B xảy ra thì A chắc chắn xảy ra.

Trong thực tế các bài toán trong chương trình Toán học 11, đôi khi ta cần tính xác suất của biến cố A khi đã biết thông tin là biến cố B đã xảy ra.

Định nghĩa: Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A, ký hiệu là: P(A/B)

Thí dụ: Kiện hàng có 5 sản phẩm (trong đó có 2 sản phẩm loại I). Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 sàn phẩm (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được sản phẩm loại I biết lần thứ nhất lấy được sản phẩm loại I.

Giải: Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được sản phẩm loại I” ; B là biến cố “lần thứ nhất lấy được sản phẩm loại I”. Ta cần tìm P(A/B).

Ta thấy lần thứ nhất đã lấy được sản phẩm loại I (tức B đã xảy ra) nên trong kiện còn lại 4 sản phẩm, trong đó có 1 sản phẩm loại I.

Theo định nghĩa cổ điển, ta có:

Công thức tính: Để tính xác suất có điều kiện, tùy theo từng trường hợp cụ thể ta có thể dùng định nghĩa cổ điển hoặc dùng công thức:

(với điều kiện $P\left(B\right)\ne 0$

Xem thêm: Công thức biến đổi tích thành tổng

Chứng minh toán học:

Giả sử phép thử có n trường hợp đồng khả năng, trong đó có m₁ trường hợp thuận lợi cho B; m₂ trường hợp thuận lợi cho A. Vì A, B không xung khắc nên nói chung sẽ có k trường hợp thuận lợi cho cả A và B. Theo định nghĩa cổ điển của xác suất ta có:

Ta tính P(A/B)

Với điều kiện B đã xảy ra nên số trường hợp đồng khả năng của biến cố A khi đó sẽ là mi; số trường hợp thuận lợi cho A là k.

Vì vậy:

Do đó::

Tham khảo thêm: Công thức xác suất

Sự độc lập của các biến cố trong công thức nhân xác suất

Ta có thể dùng khái niệm xác suất có điều kiện để định nghĩa hai biến cố độc lập như sau:

Hai biến cố A, B độc lập nếu: P(A/B) = P(A) hay P(B/A) = P(B)

Tức việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia.

Từ định nghĩa trên ta suy ra: Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi: P(AB) = P(A)P(B)

Tức là: việc B xảy ra hay không xảy ra không làm thay đổi xác suất của biến cố A và ngược lại, việc A xảy ra hay không xảy ra không làm thay đổi xác suất của biến cố B.

Nếu A, B độc lập thì $\overline{A},B;A,\overline{B}$ và $\overline{A},\overline{B}$ cũng độc lập.

Các biến cố A₁, A₂. . . . A_n được gọi là độc lập từng đôi nếu 2 biến cố bất kỳ ưong n biến cố này độc lập nhau.

Các biến cố A₁, A₂, …, A_n được gọi là độc lập toàn phần (độc lập trong toàn thể), ta gọi vắn tắt là các biến cổ độc lập, nếu với mọi tập con {i₁, i₂,…,i_k} của {1,2, …,n}

Các biến cố độc lập toàn phần thì độc lập từng đôi, nhưng các biến cố độc lập từng đôi thì chưa chắc độc lập toàn phần.

A, B là hai biến cố bất kỳ, thì: P(AB) = P(A).P(B/A)= P(B)P(A/B)

Tổng quát: A₁, A₂,…, A_n bất kỳ, thì: $P(A_1{A}_2....A_n)=P\left(A_1\right)P\left(A_2/A_1\right)...P(A_n/A_1{A}_2...A_{n-1})$

Từ công thức tính xác suất có điều kiện, các bạn có thể dễ dàng chứng minh được các công thức đã nêu ở trên.

3. Hệ quả (Công thức nhân xác suất)

Nếu A, B là hai biến cố độc lập, thì: P(AB) = P(A)P(B)     (1.19)

Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh hệ quả này.

Tổng quát: Nếu A₁, A₂,…, A_n độc lập toàn phần, thì:

Tổng hợp công thức Toán 11 thi THPT

Dưới đây là tổng hợp công thức Toán 11 thi THPT mà bạn có thể tham khảo:

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Các công thức về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Công thức nhị thức niu tơn

Tính tổng các hệ số trong khai triển

Tìm hệ số trong khai triển

Công thức cấp số nhân lùi vô hạn

Công thức cấp số nhân lớp 11

Các công thức cấp số cộng

Công thức dãy số

Công thức tính tổng dãy số

Công thức tính công bội của cấp số nhân

Công thức tính công sai của cấp số cộng

Công thức giới hạn dãy số

Công thức giới hạn của hàm số

Công thức hàm số lượng giác

Công thức đạo hàm cấp cao

Công thức đạo hàm cấp n

Công thức logarit và đạo hàm

Công thức cộng xác suất

Tổng kết về công thức nhân xác suất

Bài viết đã giới thiệu và thảo luận về khái niệm xác suất có điều kiện và các công thức liên quan đến nó. Hi vọng thông tin công thức nhân xác suất từ bài viết đã ít nhiều giúp ích cho bạn, cám ơn bạn đã đến thăm thcsmacdinhchi.edu.vn.