Công thức nhân đôi lượng giác Toán 11 ĐƠN GIẢN (Có đáp án)

Công thức nhân đôi lượng giác là một biến thể của công thức lượng giác. Nó tỏ ra rất có lợi cho học sinh khi giải các bài toán liên quan đến việc sửa đổi các công thức lượng giác cơ bản. Chúng tôi hiểu rằng hiện tại các bạn đang tìm kiếm công thức nhân lượng giác và hôm nay kênh THCS Mạc Đĩnh Chi sẽ cung cấp cho các bạn nhiều công thức khác nhau liên quan đến công thức nhân lượng giác, làm nền tảng cho các công thức lượng giác nâng cao hơn sau này như Công thức nhân 3.

Table of Contents

Công thức nhân đôi lượng giác là gì?

Công thức nhân đôi lượng giác là một công thức trong toán học được sử dụng để tính toán giá trị của một góc gấp đôi dựa trên giá trị của một góc ban đầu. Công thức này được sử dụng trong lĩnh vực hình học và giải tích, đặc biệt là trong trigonometri.

Công thức nhân đôi lượng giác có dạng như sau:

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
cos(2θ) = cos²(θ) – sin²(θ)
tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 – tan²(θ))

Trong đó, θ là góc ban đầu và sin, cos, tan là các hàm lượng giác tương ứng với sin, cos, tan của góc. Công thức này cho phép chúng ta tính toán giá trị của một góc gấp đôi dựa trên giá trị của góc ban đầu, mở rộng khả năng tính toán và áp dụng các thuật toán lượng giác phức tạp hơn.

Tương ứng với các công thức nhân đôi lượng giác sinx, cosx, tanx, cotx, các góc 0°, 30°, 45°, 60° và 90° sẽ có các giá trị lượng giác khác nhau. Tuy nhiên, chúng có sự phân bố có quy luật cân xứng trong các giá trị này.

Để hiểu lý do tại sao chúng ta có các giá trị Công Thức Toán này, hãy xem xét đường tròn lượng giác và các góc tương ứng trên nó.

Công thức lượng giác nhân đôi

Trong toán học và Các công thức lượng giác, công thức nhân đôi lượng giác có dạng sau:

Cos2x = cos²x – sin²x = 2cos²x – 1= 1 – 2sin²x

Để hiểu rõ hơn, chúng ta có thể biểu diễn nó theo cách khác: Cos gấp đôi bằng bình cos trừ bình sin, bằng luôn hai cos bình trừ đi 1, cũng bằng một trừ hai sin bình.

Sin2x = 2sinx.cosx

Tương tự, Công thức nhân đôi lượng giác sin gấp đôi cho ta biết rằng sin2x bằng hai lần tích của sinx và cosx.

Tan2x = 2tanx / (1- tan²x)

Và Công thức nhân đôi lượng giác tang gấp đôi cho biết rằng tan2x bằng hai lần tanx chia cho 1 trừ đi tích của tanx với chính nó.

Cot2x = (1- cot²x) / 2cotx

Công thức nhân đôi lượng giác cotang gấp đôi có dạng này và nó có thể áp dụng bằng cách sử dụng công thức nhân đôi.

Xem thêm: Công thức biến đổi tích thành tổng

Áp dụng công thức nhân đôi lượng giác 11

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau: $\frac{{3 - 4\cos 2\alpha + \cos 4\alpha }}{{3 + 4\cos 2\alpha + \cos 4\alpha }} = {\tan ^4}\alpha$

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} VT = \dfrac{{3 - 4\cos 2\alpha + \cos 4\alpha }}{{3 + 4\cos 2\alpha + \cos 4\alpha }} \hfill \\ VT = \dfrac{{3 - 4\cos 2\alpha + 2{{\cos }^2}2\alpha - 1}}{{3 + 4\cos 2\alpha + 2{{\cos }^2}2\alpha - 1}} \hfill \\ VT = \dfrac{{2{{\cos }^2}2\alpha - 4\cos 2\alpha + 2}}{{2{{\cos }^2}2\alpha + 4\cos 2\alpha + 2}} \hfill \\ VT = \dfrac{{{{\left( {1 - \cos 2\alpha } \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + \cos 2\alpha } \right)}^2}}} \hfill \\ VT = {\left( {\dfrac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{2{{\cos }^2}\alpha }}} \right)^2} = {\tan ^4}\alpha \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ 2: Giải phương trình công thức nhân đôi sin2x – 2cos2x = 0

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} \sin 2x - 2\cos 2x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - 2\sin x.\cos x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x - 2\sin x} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x = 0} \\ {2\sin x = \cos x} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {x = \arctan \dfrac{1}{2} + k\pi } \end{array}} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y = 4sinx.cos x + 1

Hướng dẫn giải

Ta có: y = 4sinx.cos x + 1 = 2sin2x + 1

Do $- 1 \leqslant \sin 2x \leqslant 1 \Rightarrow - 2 \leqslant 2\sin 2x \leqslant 2 \Rightarrow - 2 + 1 \leqslant 2\sin 2x + 1 \leqslant 2 + 1$

$\Rightarrow - 1 \leqslant 2\sin 2x + 1 \leqslant 3$ hay $- 1 \leqslant y \leqslant 3$

y = 3 khi và chỉ khi $\sin 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$

y = -1 khi và chỉ khi $\sin 2x = - 1 \Rightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1

Xem thêm: Công thức hạ bậc lượng giác

Bài tập vận dụng cho công thức lượng giác nhân đôi

Bài tập 1: Tính giá trị công thức nhân đôi lượng giác của biểu thức sau:

M = (5 – cos²x)/ (2+ 7sinx)

Giải:

Chúng ta có thể giải bài tập này bằng cách thực hiện các bước sau:

Bắt đầu với biểu thức ban đầu: M = (5 – cos²x)/ (2+ 7sinx)
Tiến hành thay thế cos²x bằng 1 – sin²x: M = (5 – (1 – sin²x))/ (2 + 7sinx)
Đơn giản hóa biểu thức: M = (4 + sin²x)/ (2 + 7sinx)
Đặt t = sinx: M = (4 + t²)/ (2 + 7t)
Tìm giá trị tương ứng với sinx: sinx = 2t/ (1 + t²) = (2.½) / (1 + ¼) = ⅘
Thay t = ⅘ vào biểu thức: M = (4 + (⅘)²)/ (2 + 7(⅘)) = 58/95.

Bài tập 2: Chứng minh các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc vào a.

a) A = 2(sin²α + cos6²α) – 3(sin²α + cos⁴α)

Hướng dẫn: Sử dụng a³ + b³; A = -1

b) B = 4(sin⁴α + cos⁴α) – cos⁴α

Hướng dẫn: Sử dụng a² + b² = (a + b)² – 2ab và cos2α = 1 – 2sin²a; B = 3

Về Công Thức Lượng Giác và ứng dụng của nó

Công thức lượng giác, đặc biệt là Công thức nhân đôi lượng giác đóng vai trò quan trọng trong giải toán. Chúng giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán khác nhau và tìm ra các giá trị liên quan đến lượng giác.

Kiến thức về lượng giác là một phần quan trọng của chương trình giáo dục ở Việt Nam, thường được giảng dạy trong phần đại số hoặc chương trình học riêng biệt với sự nâng cao.

Công thức hàm số lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm cả toán học thuần túy và toán học ứng dụng trong thực tế. Chúng được sử dụng để phân tích sóng và là một phần quan trọng trong nghiên cứu khoa học và công nghệ hiện đại.

Tổng kết

Bên trên đã cung cấp toàn bộ thông tin liên quan đến công thức nhân đôi lượng giác , bao gồm tổng quan về lượng giác, công thức nhân đôi, cách chứng minh các công thức này, bài tập thực hành và tầm quan trọng của việc nghiên cứu và học về lượng giác. Hy vọng rằng những kiến thức này từ THCS Mạc Đĩnh Chi đã gửi đến bạn sẽ mang lại giá trị và hữu ích. Chúc bạn thành công và may mắn trong hành trình học tập!