Công thức nhân 3 và 4 - Công thức lượng giác chi tiết

Công thức nhân 3 là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 11. Hôm nay, THCS Mạc Đĩnh Chi đã tổng hợp công thức nhân 3 và công thức lượng giác để gửi tới các bạn học sinh.

Có thể bạn quan tâm

Bài viết này sẽ giới thiệu các công thức lượng giác thường dùng trong biến đổi biểu thức lượng giác ở lớp 10 và giải phương trình lượng giác Toán 11 nhằm giúp các bạn ôn tập và củng cố kiến thức, thực hành kĩ năng dùng công thức Áp dụng vào làm bài tập lượng giác chương trình THPT. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Bạn đang xem: Công thức nhân 3 và 4 – Công thức lượng giác chi tiết

Tổng hợp công thức nhân 3

Dưới đây là các công thức nhân 3 đã được tổng hợp chi tiết:

Sin 3a = 3sin a – 4sin³ a
Cos 3a = 4cos³ a – 3cos a
Tan 3a = $\frac<span class=$
Cot 3a = $\frac<span class=$

Trong 4 công thức đã được liệt kê: Sin 3a, Cos 3a, Tan 3a, Cot3a. Theo kinh nghiệm của tác giả bài viết, công thức Sin 3a là công thức đầu tiên cần nhớ vì từ đó chúng ta có thể suy ra 3 công thức còn lại. Không chỉ công thức Sin 3a, công thức Sin 4a cũng là công thức quan trọng không kém nếu bạn muốn nắm vững công thức lượng giác.

Chứng minh công thức nhân ba

Để chứng minh công thức nhân 3 trong lượng giác, ta sẽ bắt đầu từ công thức lượng giác của sin(3a):

sin(3a) = sin(2a + a)

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng công thức cộng lượng giác sin của một tổng:sin (A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB

Áp dụng công thức này cho sin (2a + a), ta có:sin (3a) = sin (2a) * cos (a) + cos (2a) * sin (a)

Bây giờ, chúng ta cần tính sin (2a) và cos (2a). Áp dụng công thức nhân đôi lượng giác cho sin và cos, ta có:

sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a) cos(2a) = cos²(a) – sin²(a)

Áp dụng các công thức này vào công thức ban đầu, ta có:sin(3a) = (2 * sin(a) * cos(a)) * cos(a) + (cos²(a) – sin²(a)) * sin(a)
Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính:sin(3a) = 2 * sin(a) * cos²(a) + cos(a) * (cos²(a) – sin²(a))
Tiếp tục phân tách và tổng hợp, ta sẽ có:sin(3a) = 2 * sin(a) * cos²(a) + cos(a) * cos²(a) – cos(a) * sin²(a)
sin(3a) = (2 * sin(a) + cos(a)) * cos²(a) – cos(a) * sin²(a)

Chúng ta có thể sử dụng công thức cộng lượng giác sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b), với a = 2a và b = a. Nếu như bạn chưa biết hay đã quên công thức cộng lượng giác, bạn có thể xem chúng trong bài viết công thức hàm số lượng giác đầy đủ nhất kèm bài tập nhé.

sin(3a) = sin(2a) * cos(a) + cos(2a) * sin(a)

<=> sin(3a) = (2 * sin(a) + cos(a)) * cos²(a) – cos(a) * sin²(a)

<=> sin(3a) = (2 * sin(a) + cos(a)) * [cos²(a) – sin²(a)]

Nhưng ta biết rằng cos²(a) – sin²(a) = cos(2a), vì vậy ta có:
sin(3a) = (2 * sin(a) + cos(a)) * cos(2a)

Và đó là công thức nhân 3 cho sin(3a).

Các công thức nhân 3 lượng giác áp dụng trong bài tập

Việc áp dụng các công thức lượng giác nhân 3 trong toán học sẽ được dùng trong các bài toán liên quan đến tính toán diện tích, khoảng cách, thời gian và năng lượng trong không gian hai chiều và ba chiều. Vì vậy, việc học và nắm vững các công thức lượng giác nhân 3 là cực kì thiết yếu đối với các bạn học sinh và sinh viên trong việc xử lý các bài toán và vấn đề thực tế trong cuộc sống.

Tham Khảo Thêm: Top 35 đề thi Toán cuối kì 1 lớp 6 có đáp án hay nhất 2023

Khi đã nắm vững, các bạn học sinh có thể áp dụng cũng như biến đổi cho những dạng toán phức toán tạp hơn để đạt được điểm cao trong các bài kiểm tra hay kì thi.

Cách tính giá trị công thức sin3x cos3x bằng công thức lượng giác nhân 3?

Để tính chất lượng công thức sin3x cos3x bằng công thức nhân 3, chúng ta phải có dùng công thức nhân ba của lượng giác, đó là:
sin3x = 3sinx – 4sin³x
cos3x = 4cos³x – 3cosx

Nếu bạn muốn tìm hiểu sâu hơn nữa, bạn có thể tham khảo thêm công thức sin4x.

Trong đó, sinx và cosx là giá trị của lượng giác tương ứng với góc x.

Với bí quyết này, ta có khả năng tính được giá trị của công thức sin3x cos3x bằng cách thay chất lượng của sinx và cosx vào và thực hiện tính toán.

Ví dụ: nếu như giá trị của sinx là 0,5 và giá trị của cosx là 0,8, ta có khả năng tính được giá trị của công thức sin3x cos3x như sau:
sin3x = 3sinx – 4sin³x
= 3(0,5) – 4(0,5)³
= 1,5 – 0,5
= 1

cos3x = 4cos³x – 3cosx
= 4(0,8)³ – 3(0,8)
= 0,512 – 2,4
= -1,888

Vậy, kết quả của công thức sin3x là 1 và công thức cos3x là -1,888.

Áp dụng công thức nhân 3 trong bài toán công thức góc nhân 3?

Công thức nhân 3 được sử dụng để tính các giá trị của hàm lượng giác trong trường hợp công thức góc nhân 3 được nhân với 3. Dưới đây là những ví dụ minh họa về việc áp dụng công thức nhân 3 để giải các bài toán:

Ví dụ 1:

Tính giá trị của sin 120 độ:
Ta biết rằng 120 độ bằng 2π/3 radian, Vì vậy ta có thể sử dụng bí quyết lượng giác nhân 3 để tính giá trị của sin 120 độ:
sin 120 = sin (3 x 40) = 3 sin 40 – 4 sin^3 40

Để giải được bài này, ta cần tính giá trị của sin 40 độ trước. phụ thuộc vào bảng giá trị của lượng giác, ta có: sin 40 độ = 0.6428 (làm tròn đến 4 chữ số thập phân)

Áp dụng từ công thức ta có: sin 120 độ = 3(0.6428) – 4(0.6428)^3 = -0.8660 (làm tròn đến 4 chữ số thập phân)
Vậy chất lượng của sin 120 độ là -0.8660.

Ví dụ 2:

Tính chất lượng của cos 210 độ:
Giống như là VD trên, ta biết rằng 210 độ bằng 7π/6 radian, Vì vậy ta có thể trải nghiệm công thức lượng giác nhân 3 để tính chất lượng của cos 210 độ:

cos 210 = cos (3 x 70) = 4 cos^3 70 – 3 cos 70

Để giải được bài toán này, ta cần tính giá trị của cos 70 độ trước. phụ thuộc vào bảng chất lượng của lượng giác, Ta có: cos 70 độ = 0.3420 (làm tròn đến 4 chữ số thập phân)

Áp dụng vào công thức ta được: cos 210 độ = 4(0.3420)^3 – 3(0.3420) = -0.8660 (làm tròn đến 4 chữ số thập phân)

Tham Khảo Thêm: Công thức nhân xác suất - Tổng hợp tinh gọn và đầy đủ

Vậy giá trị của cos 210 độ là -0.8660.

Xem thêm : Công thức cos3x: Khai triển công thức lượng giác Cos3x = 4cosx^3x – 3cosx

Như vậy, công thức lượng giác nhân 3 là công cụ hữu ích để giải các bài toán liên quan đến hàm lượng giác trong trường hợp công thức góc nhân 3.

Ứng dụng công thức nhân 3, công thức góc nhân ba

Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức công thức nhân 3 sau:

a. $4\sin a.\sin \left( <span class=$

b. $\tan a.\tan \left( <span class=$

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$\begin<span class=$

b. Ta có:

$\begin<span class=$

Trong ví dụ 1 này, bên cạnh nắm được kiến thức về công thức nhân 3, các bạn học sinh cần nắm rõ về công thức biến đổi tích thành tổng.

VD 2: Giải phương trình 2cos³x = sin 3x

Cách giải:

$\begin<span class=$

Các công thức lượng giác lớp 10 cơ bản

Ở trong phần 1, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức nhân 3 cơ bản có trong chương trình sách giáo khoa (SGK) lớp 10. đây chính là những bí quyết các bạn bắt buộc cần phải học thuộc lòng thì mới có khả năng giải được những bài tập lượng giác ở mức dễ dàng nhất.

Để có thể có được kiến thức tổng quát và chi tiết hơn, các bạn học sinh không chỉ cần hiểu được bảng công thức mà còn cần biết được các công thức lượng giác đầy đủ cho lớp 9, 10, 11.

Bảng công thức lượng giác đặc biệt lớp 10

Hình minh họa công thức lượng giác đặc biệt lớp 10

Các công thức lượng giác căn bản lớp 10

Các Công thức lượng giác cơ bản lớp 10

Công thức cộng lượng giác lớp 10

+ Bí quyết 1: sin (a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b

+ Công thức 2: cos (a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b

+ Công thức 3: cos (a – b) = cos a.cos b + sin a.sin b

+ Bí quyết 4: tan (a + b) = (tan a + tan b) / 1 – (tan a. Tan b)

+ Công thức 5: tan (a – b) = (tan a – tan b) / 1 + (tan a. Tan b)

Bí quyết các cung liên kết ở trên đường tròn lượng giác

(Mẹo học Công thức lượng giác lớp 10 dành cho các bạn: cos đối, sin bù, tan hơn kém pi (π), phụ chéo).

Đây chính là các Công thức lượng giác lớp 10 dành cho những góc có các mối liên lạc đáng chú ý với nhau như : đối nhau, bù nhau, phụ nhau, hơn kém pi, hơn kém pi/2. Bên cạnh đó, đôi khi các bạn học sinh cần kết hợp với kiến thức khác đã học như công thức cấp số nhân cấp số cộng.

Công thức lượng giác 10 Áp dụng với hai góc đối nhau:

cos (-x) = cos x
sin (-x) = -sin x
tan (-x) = -tan x
cot (-x) = -cot x

Công thức lượng giác 10 Dùng với hai góc bù nhau:

sin (π – x) = sin x
cos (π – x) = -cos x
tan (π – x) = -tan x
cot (π – x) = -cot x

Công thức sử dụng với hai góc phụ nhau:

sin (π/2 – x) = cos x
cos (π/2 – x) = sin x
tan (π/2 – x) = cot x
cot (π/2 – x) = tan x

Công thức lượng giác 10 Dùng với hai góc hơn kém π:

sin (π + x) = -sin x
cos (π + x) = -cos x
tan (π + x) = tan x
cot (π + x) = cot x

Xem thêm : [CẨM NANG] Các công thức lượng giác đầy đủ cho lớp 9, 10, 11

Công thức lượng giác 10 Áp dụng với hai góc hơn kém π/2:

sin (π/2 + x) = cos x
cos (π/2 + x) = -sin x
tan (π/2 + x) = -cot x
cot (π/2 + x) = -tan x

Ghi nhớ công thức nhân (công thức nhân 2, nhân 3, nhân 4)

Ghi nhớ công thức nhân 2:

Tóm tắt công thức nhân 2:

Công thức (sin2a): sin2a = 2sina.cosa
Công thức (cos2a): cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
Công thức tan và cot:

Tham Khảo Thêm: Công thức giới hạn dãy số kèm bài tập có lời giải

Ghi nhớ công thức nhân 3

Tóm tắt công thức nhân 3:

Công thức (sin3a): sin3a = 3sina – 4sin³a
Công thức (cos3a): cos3a = 4cos³a – 3cosa

Công thức tan 3a và cot 3a:

Ghi nhớ công thức nhân 4

Tóm tắt công thức nhân 4:

Công thức (sin4a): sin4a = 4.sina.cos³a – 4.cosa.sin³a
Công thức (cos4a):cos4a = 8.cos⁴a – 8.cos²a + 1 hoặc cos4a = 8.sin⁴a – 8.sin²a + 1

Ghi nhớ công thức hạ bậc

Bản chất của những công thức hạ bậc lượng giác là chúng đều được biến đổi ra từ các công thức lượng giác cơ bản.

sin²a = (1 – cos 2a) / 2
cos²a = (1 + cos 2a) / 2
sin³a = (3sin a – sin 3a) / 4
cos³a = (3cos a + cos 3a) / 4

Bảng tóm tắt công thức hạ bậc:

Ghi nhớ công thức tổng thành tích

Bí kíp nhớ công thức tổng thành tích: sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin; cos cộng cos bằng 2 cos cos và cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin.

Công thức lượng giác 10 biến tổng thành tích

Một số công thức biến đổi tổng thành tích dưới đây:

Ghi nhớ công thức nghiệm phương trình lượng giác cơ bản

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản các bạn cần nhớ:

3. Tan a = tan b ⇔ a = b + kπ – (k ∈ Z)

4. Cot a = cot b ⇔ a = b + kπ – (k ∈ Z)

Phương trình lượng giác trong trường hợp đặc biệt:

sin a = 0 ⇔ a = kπ – (k ∈ Z)
sin a = 1 ⇔ a = π/2 + k2π – (k ∈ Z)
sin a = -1 ⇔ a = -π/2 + k2π – (k ∈ Z)
cos a = 0 ⇔ a = π/2 + kπ – (k ∈ Z)
cos a = 1 ⇔ a = k2π – (k ∈ Z)
cos a = -1 ⇔ a = π + k2π – (k ∈ Z)

Ghi nhớ dấu của các giá trị lượng giác

Dấu của các giá trị lượng giác lớp 10:

Công thức lượng giác bổ sung để các bạn đọc thêm

Công thức chia đôi

Ta đặt: t = tan a/2

Ta sẽ có:

Công thức cộng

Công thức biến tích thành tổng

Tóm tắt công thức biến đổi tích thành tổng:

Bảng tổng hợp cung đối, cung bù, cung phụ và cung hơn kém

Kết luận

Hi vọng bài tổng hợp công thức nhân 3 sẽ hữu ích cho các bạn học sinh. THCS Mạc Đĩnh Chi mong các bạn học sinh có thể ôn tập và tìm hiểu công thức nhân 3 trong chương trình lớp 10 và lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Để ôn tập cũng như có thêm kiến thức, hãy truy cập Thcsmacdinhchi.edu.vn để biết thêm nhé!

Danh sách những bài viết của THCS Mạc Đĩnh Chi được nhiều bạn học sinh quan tâm

Nguồn: https://thcsmacdinhchi.edu.vn
Danh mục: Công Thức Lượng Giác

Công thức nhân 3 và 4 – Công thức lượng giác chi tiết

Tổng hợp công thức nhân 3

Chứng minh công thức nhân ba

Các công thức nhân 3 lượng giác áp dụng trong bài tập

Cách tính giá trị công thức sin3x cos3x bằng công thức lượng giác nhân 3?

Áp dụng công thức nhân 3 trong bài toán công thức góc nhân 3?

Ứng dụng công thức nhân 3, công thức góc nhân ba