|

[CHI TIẾT] Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản là một trong những chủ đề quan trọng và cơ bản trong toán học. Được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như hình học, vật lý, và kỹ thuật, phương trình lượng giác giúp chúng ta tính toán và hiểu rõ các mối quan hệ giữa góc và các tỷ lệ lượng giác như sin, cos, và tan. Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản, mở ra một cánh cửa kiến thức mới rộng lớn.

Lý thuyết công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

* Công thức nghiệm sin, cos của phương trình lượng giác cơ bản

a) Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: |m| ≤ 1. Phương trình có nghiệm.

– Nếu như m trình diễn được dưới dạng sin của các góc đặc biệt thì:

sinx = m ⇔ sinx = sinα ⇔

– Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của các góc đáng chú ý thì:

sinx = m ⇔ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

– Các trường hợp công thức nghiệm của phương trình lượng giác đặc biệt:

sinx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)

sinx = một ⇔ x = Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản + k2π (k ∈ Z)

sinx = -1 ⇔ x = –Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản + k2π (k ∈ Z)

b) Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản cos x = m

trường hợp 1: |m| > một. Phương trình vô nghiệm.

hoàn cảnh 2: |m| ≤ một . Phương trình sở hữu nghiệm.

– nếu m trình diễn được dưới dạng cos của những góc đáng chú ý thì:

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

– nếu như m ko biểu diễn được dưới dạng cos của các góc đáng chú ý thì:

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

– Các trường hợp công thức nghiệm của phương trình lượng giác đặc biệt:

cosx = 0 ⇔ x = Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản + kπ (k ∈ Z)

cosx = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z)

cosx = -1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z)

 

* Công thức nghiệm tan, cot của phương trình lượng giác cơ bản

c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện: x ≠ Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản + kπ (k ∈ Z)

– Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đáng chú ý thì:

tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)

– Nếu như m không biểu diễn được dưới dạng tan của các góc đáng chú ý thì:

tan x = m ⇔ x = αrctan m + kπ (k ∈ Z)

d) Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: cot x = m. Điều kiện: x ≠ kπ (k ∈ Z) 

Tham Khảo Thêm:  Công thức cấp số nhân lớp 11: Lý thuyết, công thức và bài tập

– Ví như m trình diễn được dưới dạng cot của những góc đặc trưng thì:

cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)

– Nếu m ko biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc trưng thì:

cot x = m ⇔ x = αrccot m + kπ (k ∈ Z)

* Mở rộng bí quyết nghiệm, sở hữu u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

cos u(x) = cos v(x) ⇔ u(x) = Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản + k2π (k ∈ Z)

tan u(x) = tan v(x) ⇔ u(x) = v(x) + kπ (k ∈ Z)

cot u(x) = cot v(x) ⇔ u(x) = v(x) + kπ (k ∈ Z)

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính

Khi đã cho số m, ta có thể sắm những giá trị arcsin m, arccos m, arctan m, arccot m bằng máy tính bỏ túi với những phím sin-1; cos-1; tan-1.

Bước 1. Chỉnh chế độ rad hoặc độ

– Muốn tìm số đo radian:

Ta ấn qw4 (đối  Casio fx – 570VN)

Ta ấn qw22 (đối sở hữu Casio fx – 580VN X)

– Muốn tậu số đo độ:

ta ấn qw3 (đối với Casio fx – 570VN)

ta ấn qw21 (đối sở hữu Casio fx – 580VN X)

Bước 2. Tìm kiếm số đo góc

Tìm kiếm góc α khi biết sin của góc đấy bằng m, ta ấn lần lượt qj m =.

Như vậy đối với cos và tan.

Chú ý: muốn tậu góc α lúc biết cot của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt ql1a m $)=.

Sau đó áp dụng công thức lượng giác để giải phương trình. Ngoài ra bạn có thể tham khảo thêm về các kiến thức khác như Các công thức về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp.

Giải phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác

Dạng asinx + b; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx+ b = 0 (a, b ∈ Ζ, a ≠ 0)

cách giải:

Đưa về phương trình căn bảnVD asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b/a

Giải phương trình bậc hai với 1 hàm số lượng giác

Dạng asin x + bsinx + c = 0 (a, b ∈ Ζ, a ≠ 0)

Phương pháp

Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc 2 đối với t.

Ví dụ: Giải phương trình asin x + bsinx + c = 0

Đặt t = sinx (-1≤ t ≤1) ta  phương trình at + bt + c = 0

Chú ý lúc đặt t = sinx hoặc t = cosx thì cần có điều kiện -1≤ t ≤1

Xem thêm: Tìm hệ số trong khai triển

Lưu ý khi giải công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

a) khi giải phương trình mang cất những hàm số tang, cotang, sở hữu dòng số hoặc chứa căn

Tham Khảo Thêm:  Công thức nhân 3 và 4 - Công thức lượng giác chi tiết

ví dụ 1: Giải phương trình công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản sau:

A. công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

B. công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

C. Cot 2x = √3

Lời giải

a) công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Vậy họ nghiệm của phương trình là: công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Vậy họ nghiệm của phương trình là: công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

c) cot 2x = √3

Điều kiện xác định: công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Vậy họ nghiệm của phương trình là: công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

ví dụ 2: Giải phương trình sau:

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Lời giải

a) công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Vậy họ nghiệm của phương trình là: công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

b) Điều kiện xác định: công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp: sử dụng những bí quyết nghiệm tương ứng mang mỗi phương trình

VD 1: Giải các phương trình lượng giác toán 11 sau:

  1. a) sinx = sin(π/6). C) tanx – một = 0
  2. b) 2cosx = một. D) cotx = tan2x.

Lời giải

a) sinx = sinπ/6

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

  1. b) 2cosx = một ⇔ cosx = ½ ⇔ x = ± π/3 + k2π (k ∈ Z)
  2. c) tanx = một ⇔ cosx = π/4 + kπ (k ∈ Z)
  3. d) cotx = tan2x

⇔cotx = cot(π/2 – 2x)

⇔ x = π/2 – 2x + kπ

⇔ x = π/6 + kπ/3 (k ∈ Z)

ví dụ 2: Giải công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản sau:

a) cos2 x – sin2x =0.

b) 2sin(2x – 40º) = √3

Lời giải

a) cos x – sin x=0 ⇔ cos x – 2sinx.cosx = 0

⇔ cosx (cosx – 2sinx )=0

các phương trình lượng giác cơ bản

b) 2 sin(2x-40º )=√3

⇔ sin(2x-40º )=√3/2

giải pt lượng giác

VD 3: Giải những phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.

một số phương trình lượng giác cơ bản

Bài luyện tập công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản 11

Câu 1. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản  nghiệm là

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Câu 2. Phương trình Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản với bao lăm nghiệm thuộc đoạn ?

A. B. một C. hai D. 3

Câu 3. Cho phương trình cot 3x = cot (x + √3). Nghiệm của phương trình là:

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Đáp án: 1 – C, hai – A, 3 – B

Xem thêm: Công thức cấp số nhân lùi vô hạn

Phương trình hàng đầu sở hữu 1 hàm lượng giác

Phương pháp: Đưa về công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản, VD asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b/a

Ví dụ: Giải phương trình sau:

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình bậc hai với một hàm lượng giác

Phương trình bậc 2 đối với 1 hàm số lượng giác là công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản dạng :

a.f (x) + b.f(x) + c = 0 mang f(x) = sinu(x) hoặc f(x) = cosu(x), tanu(x), cotu(x).

Tham Khảo Thêm:  Tính 10+ Công thức tính khoảng cách trong Oxyz lớp 10, 12

Phương pháp giải:

Đặt t = f(x) ta  phương trình : at + bt +c = 0

Giải phương trình này ta tậu được t, từ đó tậu được x

Khi đặt t = sinu(x) hoặc t = cosu(x), ta sở hữu điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1

Ví dụ: sin x +2sinx – 3 = 0

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 2: một + sin2x + cosx + sinx = 0

Lời giải:

⇔ 1 + 2 sinx cosx + 2(cosx+sinx ) = 0

⇔ cos2x + sin2x + 2 sinxcosx + 2 (cosx+sinx )=0

⇔ (sinx + cosx)2 + hai (cosx+sinx )=0

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) mang a, b là những số thực khác 0.

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ: Giải phương trình sau: cos x – sin2x = 0.

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

Phương pháp

Phương trình đối xứng là phương trình mang dạng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3)

Công thức giải:

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.

ngoài những điều ấy ra con người còn gặp phương trình phản đối xứng mang dạng:

a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)

Để giải phương trình này ta cũng đặt

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Thay vào (4) ta có được phương trình bậc 2 theo t.

ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2(sinx + cosx) + 3sin2x = hai.

công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Tổng kết

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản không chỉ là một khái niệm toán học quan trọng, mà còn là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta khám phá và hiểu rõ hơn về thế giới xung quanh chúng ta. Hãy thường xuyên ghé thăm website THCS Mạc Đĩnh Chi của chúng tôi để đọc thêm nhiều kiến thức toán học phổ biến khác nhé!

Xem thêm các bài viết liên quan:

Công thức cấp số nhân cấp số cộng

Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức xác suất

Phép đối xứng tâm

Công thức nhị thức niu tơn

Tính tổng các hệ số trong khai triển

Công thức cấp số nhân lớp 11

Các công thức cấp số cộng

Công thức dãy số

Công thức tính tổng dãy số

Công thức tính công bội của cấp số nhân

Công thức tính công sai của cấp số cộng

Công thức giới hạn dãy số

Công thức giới hạn của hàm số

Công thức hàm số lượng giác

Công thức đạo hàm cấp cao

Công thức đạo hàm cấp n

Công thức logarit và đạo hàm

Công thức cộng xác suất

Công thức nhân xác suất

Similar Posts

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *