Phần kiến thức công thức hàm số lượng giác luôn là mối quan ngại lớn đối với các bạn học sinh. Nhiều bạn cho rằng phần kiến thức lý thuyết của hàm số lượng giác quá nhiều nên khó có thể học thuộc cũng như áp dụng được. Đọc ngay bài viết sau đây của trang web thcsmacdinhchi.edu.vn để xem tổng kết công thức hàm số lượng giác cũng như biết thêm những kiến thức bổ ích có liên quan.
Hàm số lượng giác là gì?
Hàm lượng giác là các hàm toán học của góc, được dùng để nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn khác. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc cũng có thể là tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị.
Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
Trong đó:
- sin : tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền của góc
- cos : tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền của góc
- tan : tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc
- cot : tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc
Mẹo ghi nhớ : Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, ,Cot kết đoàn
Tổng hợp công thức hàm số lượng giác đầy đủ nhất
Dưới đây là tổng hợp công thức hàm số lượng giác đầy đủ nhất mà bạn có thể tham khảo. Bên cạnh đó, trong chương trình Toán học cũng có Công thức giới hạn của hàm số – là phần kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các kì thi tốt nghiệp mà bạn có thể tham khảo.
Công thức lượng giác cơ bản
Công thức cộng lượng giác
1. sin (a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b
2. cos (a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b
3. cos (a – b) = cos a.cos b + sin a.sin b
Mẹo nhớ công thức cộng lượng giác: Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.
Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác
Mẹo ghi nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π
Trường hợp hai góc đối nhau:
- cos (-x) = cos x
- sin (-x) = -sin x
- tan (-x) = -tan x
- cot (-x) = -cot x
Trường hợp hai góc bù nhau:
- sin (π – x) = sin x
- cos (π – x) = -cos x
- tan (π – x) = -tan x
- cot (π – x) = -cot x
Trường hợp hai góc phụ nhau:
- sin (π/2 – x) = cos x
- cos (π/2 – x) = sin x
- tan (π/2 – x) = cot x
- cot (π/2 – x) = tan x
Trường hợp hai góc hơn kém π:
- sin (π + x) = -sin x
- cos (π + x) = -cos x
- tan (π + x) = tan x
- cot (π + x) = cot x
Trường hợp hai góc hơn kém π/2:
- sin (π/2 + x) = cos x
- cos (π/2 + x) = -sin x
- tan (π/2 + x) = -cot x
- cot (π/2 + x) = -tan x
Công thức nhân
Công thức nhân đôi:
- sin2a = 2sina.cosa
- cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
Công thức nhân ba:
- sin3a = 3sina – 4sin3a
- cos3a = 4cos3a – 3cosa
Công thức nhân bốn:
- sin4a = 4.sina.cos3a – 4.cosa.sin3a
- cos4a = 8.cos4a – 8.cos2a + 1
- hoặc cos4a = 8.sin4a – 8.sin2a + 1
Xem thêm: Công thức đạo hàm cấp n
Công thức hạ bậc chính xác nhất
Thực ra những công thức này đều được biến đổi ra từ công thức lượng giác cơ bản, ví dụ như: sin2a=1 – cos2a = 1 – (cos2a + 1)/2 = (1 – cos2a)/2.
Công thức biến tổng thành tích
Mẹo nhớ: cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin.
Công thức biến đổi tích thành tổng
Xem thêm: Công thức đạo hàm cấp cao
Nghiệm phương trình lượng giác
Phương trình lượng giác cơ bản:
3. tan a = tan b ⇔ a = b + kπ; (k ∈ Z)
4. cot a = cot b ⇔ a = b + kπ; (k ∈ Z)
Phương trình lượng giác trong trường hợp đặc biệt:
- sin a = 0 ⇔ a = kπ; (k ∈ Z)
- sin a = 1 ⇔ a = π/2 + k2π; (k ∈ Z)
- sin a = -1 ⇔ a = -π/2 + k2π; (k ∈ Z)
- cos a = 0 ⇔ a = π/2 + kπ; (k ∈ Z)
- cos a = 1 ⇔ a = k2π; (k ∈ Z)
- cos a = -1 ⇔ a = π + k2π; (k ∈ Z)
Công thức lượng giác bổ sung
Biểu diễn công thức theo
Dấu của các giá trị lượng giác
Góc phần tư số | I | II | III | IV |
Giá trị lượng giác | ||||
sin x | + | + | – | – |
cos x | + | – | – | + |
tan x | + | – | + | – |
cot x | + | – | + | – |
Xem thêm: Công thức giới hạn dãy số
Bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt
Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau. ( α + β = 90°)
sin α = cos β cos α = sin β
tan α = cot β cot α = tan β
Bảng tỉ số của các góc đặc biệt
Cách tính chu kỳ hàm số lượng giác dễ hiểu nhất
Hàm số y= f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x+T ∈ D;x-T ∈ D và f(x+T)=f(x). Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.
Cách tìm chu kì của hàm số lượng giác (nếu có):
-
Hàm số y = k.sin(ax+b) có chu kì là T= 2π/|a|
-
Hàm số y= k.cos(ax+ b) có chu kì là T= 2π/|a|
-
Hàm số y= k.tan( ax+ b) có chu kì là T= π/|a|
-
Hàm số y= k.cot (ax+ b ) có chu kì là: T= π/|a|
-
Hàm số y= f(x) có chu kì T1; hàm số T2 có chu kì T2 thì chu kì của hàm số y= a.f(x)+ b.g(x) là T = bội chung nhỏ nhất của T1 và T2
Bài tập công thức hàm số lượng giác
Dưới đây là một số bài toán để củng cố kiến thức công thức hàm số lượng giác – kiến thức quan trọng của toán 11 mà bạn có thể tham khảo:
Bài 1: Hàm số y = (sinx + cosx)2 + cos2x có giá trị lớn nhất là:
Lời giải:
Ta có:
Bài 2: Cho hàm số y = và k ∈ Z. sin�1+tan�
Khoảng nào dưới đây không nằm trong tập xác định của hàm số?
Lời giải:
Nên khoảng này không nằm trong tập xác định của hàm số
Bài 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3- 4sin2xcos2x là:
Lời giải:
Bài 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm chẵn và cũng không là hàm lẻ?
Lời giải:
Xét phương án B:
Do đó, hàm số đã cho không là hàm chẵn và cũng không phải là hàm lẻ
Tổng hợp công thức Toán 11 đầy đủ nhất
Dưới đây thì trang web thcsmacdinhchi.edu.vn tổng hợp công thức Toán 11 thi THPT mà bạn có thể tham khảo để nắm vững kiến thức nhé:
Công thức cấp số nhân, cấp số cộng
Công thức biến đổi tích thành tổng
Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản
Các công thức về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp
Tính tổng các hệ số trong khai triển
Công thức cấp số nhân lùi vô hạn
Tổng kết công thức hàm số lượng giác
Thông qua bài viết trên đây của trang web thcsmacdinhchi.edu.vn,hy vọng bạn đọc đã có thể biết được công thức hàm số lượng giác đầy đủ nhất. Tiếp tục theo dõi trang web của chúng tôi để bổ sung thêm nhiều kiến thức về toán học, vật lý cũng như những môn học khác nhé.
Discussion about this post