Công thức hàm số lượng giác đầy đủ nhất kèm bài tập

Phần kiến thức công thức hàm số lượng giác luôn là mối quan ngại lớn đối với các bạn học sinh. Nhiều bạn cho rằng phần kiến thức lý thuyết của hàm số lượng giác quá nhiều nên khó có thể học thuộc cũng như áp dụng được. Đọc ngay bài viết sau đây của trang web thcsmacdinhchi.edu.vn để xem tổng kết công thức hàm số lượng giác cũng như biết thêm những kiến thức bổ ích có liên quan.

Table of Contents

Hàm số lượng giác là gì?

Hàm lượng giác là các hàm toán học của góc, được dùng để nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn khác. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc cũng có thể là tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị.

Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Trong đó:

sin : tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền của góc
cos : tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền của góc
tan : tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc
cot : tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc

Mẹo ghi nhớ : Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, ,Cot kết đoàn

Tổng hợp công thức hàm số lượng giác đầy đủ nhất

Dưới đây là tổng hợp công thức hàm số lượng giác đầy đủ nhất mà bạn có thể tham khảo. Bên cạnh đó, trong chương trình Toán học cũng có Công thức giới hạn của hàm số – là phần kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các kì thi tốt nghiệp mà bạn có thể tham khảo.

Công thức lượng giác cơ bản

$1.\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

$2.\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

$3.\ \sin^2x+\cos^2x=1$

$4.\ \tan x.\cot x=1\left(x\ne k\frac{\pi}{2},\ k\ ∈\ Z\right)$

$5.\ 1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}\ \left(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\ ∈\ Z\right)$

$6.\ 1+\cot^2x=\frac{1}{\sin^2x}\ \left(x\ne k\pi,\ k\ ∈\ Z\right)$

Công thức cộng lượng giác

1. sin (a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b

2. cos (a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b

3. cos (a – b) = cos a.cos b + sin a.sin b

$4.\ \tan\left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan.\tan b}$

$5.\ \tan\left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$

Mẹo nhớ công thức cộng lượng giác: Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.

Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo ghi nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Trường hợp hai góc đối nhau:

cos (-x) = cos x
sin (-x) = -sin x
tan (-x) = -tan x
cot (-x) = -cot x

Trường hợp hai góc bù nhau:

sin (π – x) = sin x
cos (π – x) = -cos x
tan (π – x) = -tan x
cot (π – x) = -cot x

Trường hợp hai góc phụ nhau:

sin (π/2 – x) = cos x
cos (π/2 – x) = sin x
tan (π/2 – x) = cot x
cot (π/2 – x) = tan x

Trường hợp hai góc hơn kém π:

sin (π + x) = -sin x
cos (π + x) = -cos x
tan (π + x) = tan x
cot (π + x) = cot x

Trường hợp hai góc hơn kém π/2:

sin (π/2 + x) = cos x
cos (π/2 + x) = -sin x
tan (π/2 + x) = -cot x
cot (π/2 + x) = -tan x

Công thức nhân

Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos²a – sin²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a
$\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}$
$\cot2a=\frac{\cot^2a\ -1}{2\cot a}$

Công thức nhân ba:

sin3a = 3sina – 4sin³a
cos3a = 4cos³a – 3cosa
$\tan3a=\frac{3\tan a-\tan^3a}{1-3\tan^2a}$
$\cot3a=\frac{\cot^3a-3\cot a}{3\cot^2a-1}$

Công thức nhân bốn:

sin4a = 4.sina.cos³a – 4.cosa.sin³a
cos4a = 8.cos⁴a – 8.cos²a + 1
hoặc cos4a = 8.sin⁴a – 8.sin²a + 1

Xem thêm: Công thức đạo hàm cấp n

Công thức hạ bậc chính xác nhất

Thực ra những công thức này đều được biến đổi ra từ công thức lượng giác cơ bản, ví dụ như: sin²a=1 – cos²a = 1 – (cos2a + 1)/2 = (1 – cos2a)/2.

$1.\ \sin^2a\ =\ \frac{1-\cos2a}{2}$

$2.\ \cos^2a=\frac{1+\cos2a}{2}$

$3.\ \sin^3a=\frac{3\sin a-\sin3a}{4}$

$4.\ \cos^3a=\frac{3\cos a+\cos3a}{4}$

Công thức biến tổng thành tích

Mẹo nhớ: cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin.

$1.\ \cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}.\cos\frac{a-b}{2}$

$2.\ \cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}.\sin\frac{a-b}{2}$

$3.\ \sin\ a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}.\cos\frac{a-b}{2}$

$4.\ \sin\ a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}.\sin\frac{a-b}{2}$

$5.\ \tan a+\tan b=\frac{\sin\left(a+b\right)}{\cos a.\cos b}$

$6.\ \tan a-\tan b=\frac{\sin\left(a-b\right)}{\cos a.\cos b}$

$7.\ \sin a+\cos a=\sqrt{2}\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)$

$8.\ \sin a-\cos a=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

$9.\ \tan a+\cot a=\frac{2}{\sin2a}$

$10.\ \cot a-\tan a=2\cot2a$

$11.\ \sin^4a+\cos^4a=1-\frac{1}{2}\sin^22a=\frac{1}{4}\cos4a+\frac{3}{4}$

$12.\ \sin^6a+\cos^6a=1-\frac{3}{4}\sin^22a=\frac{3}{8}\cos4a+\frac{5}{8}$

Công thức biến đổi tích thành tổng

$1.\ \cos a.\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos\left(a+b\right)+\cos\left(a-b\right)\right]$ $2.\ \sin a.\sin b=-\frac{1}{2}\left[\cos\left(a+b\right)-\cos\left(a-b\right)\right]$

$3.\ \sin a.\cos b=-\frac{1}{2}\left[\sin\left(a+b\right)+\sin\left(a-b\right)\right]$

Xem thêm: Công thức đạo hàm cấp cao

Nghiệm phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác cơ bản:

$1.\;\sin a=\sin b\;\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}a=b+k2\mathrm\pi\\a=\mathrm\pi-\mathrm b+\mathrm k2\mathrm\pi\end{array}(k\in Z)\right]$

$2.\;\cos a=\cos b\;\Leftrightarrow\;\left[\begin{array}{c}a=b+k2\mathrm\pi\\a=-b+k2\mathrm\pi\end{array}(k\in Z)\right]$

3. tan a = tan b ⇔ a = b + kπ; (k ∈ Z)

4. cot a = cot b ⇔ a = b + kπ; (k ∈ Z)

Phương trình lượng giác trong trường hợp đặc biệt:

sin a = 0 ⇔ a = kπ; (k ∈ Z)
sin a = 1 ⇔ a = π/2 + k2π; (k ∈ Z)
sin a = -1 ⇔ a = -π/2 + k2π; (k ∈ Z)
cos a = 0 ⇔ a = π/2 + kπ; (k ∈ Z)
cos a = 1 ⇔ a = k2π; (k ∈ Z)
cos a = -1 ⇔ a = π + k2π; (k ∈ Z)

Công thức lượng giác bổ sung

Biểu diễn công thức theo $t=\frac{\tan a}{2}$

$3.\ \tan\ a=\frac{2t}{1-t^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4.\ \cot a=\frac{1-t^2}{2t}$

Dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tư số	I	II	III	IV
Giá trị lượng giác	I	II	III	IV
sin x	+	+	–	–
cos x	+	–	–	+
tan x	+	–	+	–
cot x	+	–	+	–

Xem thêm: Công thức giới hạn dãy số

Bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt

Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau. ( α + β = 90°)

sin α = cos β cos α = sin β

tan α = cot β cot α = tan β

Bảng tỉ số của các góc đặc biệt

Cách tính chu kỳ hàm số lượng giác dễ hiểu nhất

Hàm số y= f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x+T ∈ D;x-T ∈ D và f(x+T)=f(x). Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.

Cách tìm chu kì của hàm số lượng giác (nếu có):

Hàm số y = k.sin(ax+b) có chu kì là T= 2π/|a|
Hàm số y= k.cos(ax+ b) có chu kì là T= 2π/|a|
Hàm số y= k.tan( ax+ b) có chu kì là T= π/|a|
Hàm số y= k.cot (ax+ b ) có chu kì là: T= π/|a|
Hàm số y= f(x) có chu kì T1; hàm số T2 có chu kì T2 thì chu kì của hàm số y= a.f(x)+ b.g(x) là T = bội chung nhỏ nhất của T1 và T2