Tổng hợp công thức hạ bậc lượng giác CHI TIẾT và ĐẦY ĐỦ nhất

Công thức hạ bậc lượng giác là công cụ mạnh mẽ để giải quyết các vấn đề phức tạp. Bằng cách áp dụng các Công thức hạ bậc, chúng ta có thể biến đổi các hàm lượng giác thành các dạng đơn giản hơn, giúp việc tính toán và giải quyết vấn đề hiệu quả hơn. Việc nắm vững các công thức này là điều cần thiết để nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề và đạt được thành công trong toán học.

Table of Contents

Công thức hạ bậc lượng giác là gì?

Công thức hạ bậc lượng giác là các phương trình chuyển đổi các hàm lượng giác bậc cao thành các hàm lượng giác bậc thấp hơn. Chúng thường được sử dụng dưới dạng công thức hạ bậc nửa góc và công thức hạ bậc bán tổng.

Công thức hạ bậc nửa góc

sin² x = 1/2 (1 – cos 2x)
cos² x = 1/2 (1 + cos 2x)
tan² x = 1 – sec² x = sec² x – 1 = 1/cos² x – 1
cot² x = 1 – cosec² x = cosec² x – 1 = 1/sin² x – 1

Công thức hạ bậc bán tổng

sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos (x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
tan (x ± y) = (tan x ± tan y)/(1 ∓ tan x tan y)
cot (x ± y) = (cot x cot y ∓ 1)/(cot y ± cot x)

Để sử dụng hiệu quả các công thức hạ bậc lượng giác này, điều quan trọng là phải nắm vững Các công thức lượng giác cơ bản, chẳng hạn như công thức nhân đôi, công thức cộng lượng giác, và các tính chất của các lượng giác.

Công thức hạ bậc lượng giác

Công thức hạ bậc 2

$\cos a = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos 2a}}{2}}$

$\sin a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2a}}{2}}$

$\tan a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2a}}{{1 + \cos 2a}}}$

Công thức hạ bậc 3

$\sin a = \sqrt[3]{{\frac{{3\sin a - \sin 3a}}{4}}}$

$\tan a = \sqrt[3]{{\frac{{3\sin a - \sin 3a}}{{3\cos a + \cos 3a}}}}$

Công thức hạ bậc 4

$\sin a = \pm \sqrt[4]{{\frac{{\cos 4a - 4\cos s2a + \dfrac{6}{2}}}{8}}}$

$\cos a = \pm \sqrt[4]{{\frac{{\cos 4a + 4\cos s2a + \dfrac{6}{2}}}{8}}}$

Công thức hạ bậc 5

$\sin a = \sqrt[5]{{\frac{{\sin 5a - 5\sin 3a + 10\sin a}}{{16}}}}$

$\cos a = \sqrt[5]{{\frac{{\cos 5a + 5\cos 3a + 10\cos a}}{{16}}}}$

Có bao nhiêu công thức lượng giác hạ bậc và điều kiện áp dụng?

Trong công thức lượng giác hạ bậc, có 3 công thức hạ bậc cơ bản:

1. Công thức hạ bậc sin: sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2], với điều kiện x/2 thuộc khoảng (-π/2,π/2).
2. Công thức hạ bậc cos: cos(x/2) = ±√[(1+cosx)/2], với điều kiện x/2 thuộc khoảng [0,π].
3. Công thức hạ bậc cho tan: tan(x/2) = ±√[(1-cosx)/(1+cosx)], với điều kiện x/2 thuộc khoảng (-π/2,π/2) và cosx ≠ -1.

Những công thức này được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức lượng giác và giải các bài toán lượng giác. Tuy nhiên, điều cần thiết là phải xem xét các điều kiện ứng dụng của chúng để tránh sai sót trong tính toán.

Cách chứng minh công thức hạ bậc trong lượng giác

Để chứng minh một công thức hạ bậc lượng giác, chúng ta thường áp dụng các kỹ thuật đơn giản hóa và biến đổi. Các kỹ thuật này liên quan đến việc sử dụng các công thức hạ bậc lượng giác biến đổi đã biết như công thức nhân đôi, công thức tổng, công thức chuyển hàm số để thao tác công thức thành dạng rút gọn mong muốn. Cuối cùng, chúng tôi chứng minh tính đúng đắn của công thức bằng cách so sánh giá trị của cả hai vế, thường bằng cách tính toán và so sánh các giá trị theo từng bước.

Xem thêm: Công thức hàm số lượng giác

Ví dụ minh họa về ứng dụng công thức hạ bậc lượng giác

Các công thức rút gọn lượng giác là công cụ có giá trị trong việc giải các bài toán lượng giác. Chúng cho phép chúng ta đơn giản hóa các Công Thức Toán biểu thức lượng giác phức tạp. Dưới đây là một vài ví dụ minh họa về công thức hạ bậc lượng giác:

Giả sử chúng ta cần tìm giá trị của cos45 độ, nhưng việc tính toán trực tiếp không đơn giản. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng cos2x = 2cos²x – 1. Chúng ta có thể sử dụng công thức hạ bậc lượng giác để tính cos45 độ như sau:

cos45 độ = cos(30 độ + 15 độ)
= cos30 độ * cos15 độ – sin30 độ * sin15 độ
= (√3/2) * (√6-√2)/4 – 1/2 * (√6+√2)/4
= (√6-√2)/4

Nếu chúng ta cần tìm sin75 độ, việc sử dụng công thức hạ bậc lượng giác có thể đơn giản hóa phép tính:

sin75 độ = sin(45 độ + 30 độ)
= sin45 độ * cos30 độ + cos45 độ * sin30 độ
= (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2)
= (√6 + √2)/4

Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác giúp chúng ta tính toán các giá trị hiệu quả hơn và tránh được các phép tính trực tiếp phức tạp.

Tổng hợp các công thức lượng giác mới nhất

Bảng công thức lượng giác của một số cung, góc đặc biệt

[CHUẨN NHẤT] Công thức hạ bậc lượng giác - Tổng hợp công thức lượng giác hay (ảnh 2)

[CHUẨN NHẤT] Công thức hạ bậc lượng giác - Tổng hợp công thức lượng giác hay (ảnh 3)

Hệ thức cơ bản

[CHUẨN NHẤT] Công thức hạ bậc lượng giác - Tổng hợp công thức lượng giác hay (ảnh 4)

Cung liên kết

(cách nhớ: cos đối, sin bù, tan hơn kém pi, phụ chéo)

Đây là những công thức lượng giác dành cho những góc có mối liên hệ đặc biệt với nhau như : đối nhau, phụ nhau, bù nhau, hơn kém pi, hơn kém pi/2

• Hai góc đối nhau

cos(–x) = cosx

sin(–x) = – sinx

tan(–x) = – tanx

cot(–x) = – cotx

• Hai góc bù nhau

sin (π – x) = sinx

cos (π – x) = -cosx

tan (π – x) = -tanx

cot (π – x) = -cotx

• Hai góc hơn kém π

sin (π + x) = -sinx

cos (π + x) = -cosx

tan (π + x) = tanx

cot (π + x) = cotx

• Hai góc phụ nhau

[CHUẨN NHẤT] Công thức hạ bậc lượng giác - Tổng hợp công thức lượng giác hay (ảnh 5)

• Hai góc hơn kém nhau π/2

[CHUẨN NHẤT] Công thức hạ bậc lượng giác - Tổng hợp công thức lượng giác hay (ảnh 6)

Công thức cộng

(cách nhớ : sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ, tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số một trừ tan tan) :

[CHUẨN NHẤT] Công thức hạ bậc lượng giác - Tổng hợp công thức lượng giác hay (ảnh 7)

Công thức nhân đôi

Tổng hợp các Công thức nhân đôi lượng giác

[CHUẨN NHẤT] Công thức hạ bậc lượng giác - Tổng hợp công thức lượng giác hay (ảnh 8)

Công thức nhân ba

Dưới đây là các Công thức nhân 3

sin3x = 3sinx – 4sin³x
cos3x = 4cos³x – 3cosx

Công thức hạ bậc

Công thức biến đổi tổng thành tích

Dưới đây là các Công thức tổng thành tích

[CHUẨN NHẤT] Công thức hạ bậc lượng giác - Tổng hợp công thức lượng giác hay (ảnh 10)

Công thức biến đổi tích thành tổng:

[CHUẨN NHẤT] Công thức hạ bậc lượng giác - Tổng hợp công thức lượng giác hay (ảnh 11)

Công thức biến đổi theo tan (a/2)

[CHUẨN NHẤT] Công thức hạ bậc lượng giác - Tổng hợp công thức lượng giác hay (ảnh 12)

Tập nghiệm phương trình lượng giác cơ bản

Tổng hợp Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

[CHUẨN NHẤT] Công thức hạ bậc lượng giác - Tổng hợp công thức lượng giác hay (ảnh 13)

Các công thức kết hợp với các hằng đẳng thức đại số

[CHUẨN NHẤT] Công thức hạ bậc lượng giác - Tổng hợp công thức lượng giác hay (ảnh 14)

Cách ghi nhớ công thức lượng giác

Cách ghi nhớ công thức cộng

Cos + cos = 2 cos cos

cos – cos = trừ 2 sin sin

Sin + sin = 2 sin cos

sin – sin = 2 cos sin.

Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin rồi trừ

Tang tổng thì lấy tổng tang

Chia 1 trừ với tích tang, dễ mà.

Tan(x+y)=

Bài thơ : Tan 2 tổng 2 tầng cao rộng

Trên thượng tầng tang cộng cùng tang

Hạ tầng số 1 rất ngang tàng

Dám trừ đi cả tan tan anh hùng

Cách ghi nhớ giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

Mẹo nhớ Công Thức Lượng Giác: Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém pi

Cách ghi nhớ công thức biến đổi tích thành tổng

Một số Công thức biến đổi tích thành tổng

Cos cos nửa cos-+, + cos-trừ

Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-+

Sin cos nửa sin-+ + sin-trừ

Cách ghi nhớ công thức biến đổi tổng thành tích

tính sin tổng ta lập tổng sin cô

tính cô tổng lập ta hiệu đôi cô đôi chàng

còn tính tan tử + đôi tan (hay là: tan tổng lập tổng 2 tan)

1 trừ tan tích mẫu mang thương rầu

nếu gặp hiệu ta chớ lo âu,

đổi trừ thành cộng ghi sâu trong lòng

Một cách nhớ khác của câu Tang mình + với tang ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình… là

tangx + tangy: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra hai đứa con mình con ta

Tổng kết

Các công thức hạ bậc lượng giác là công cụ không thể thiếu để đơn giản hóa các biểu thức lượng giác phức tạp và nâng cao kỹ năng giải toán. Cho dù bạn đang chuẩn bị cho kỳ thi hay đang khám phá môn toán nâng cao, việc hiểu và áp dụng các công thức này là rất quan trọng. Thực hành và ứng dụng là chìa khóa để nắm vững lượng giác, vì vậy hãy đi sâu vào các vấn đề toán học và tình huống thực tế để trau dồi kỹ năng của bạn hơn nữa. Để biết thêm thông tin chi tiết về toán học và nội dung giáo dục, hãy theo dõi trang THCS Mạc Đĩnh Chi của chúng tôi!