Công thức giới hạn của hàm số

Công thức giới hạn của hàm số là phần kiến thức khiến nhiều bạn học sinh cảm thấy khó khăn. Nhiều bạn học sinh cho rằng quá khó nhớ để có thể nhớ hết những công thức đó. Đọc ngay bài viết sau đây của trang web thcsmacdinhchi.edu.vn để tổng hợp công thức giới hạn của hàm số cũng như biết thêm những thông tin có liên quan nhé.

Lý thuyết giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số là gì?

Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ bản trong lĩnh vực giải tích và vi tích phân, có liên quan mật thiết đến hàm số khi có biến tiến tới một giá trị xác định nào đó.

Có thể nói hàm hàm số có giới hạn L tại a khi f(x) tiến càng gần L khi x tiến càng gần a.

Giới hạn của hàm số tại 1 điểm

Cho hàm số y = f(x) và khoảng K chứa điểm $x_0$. Hàm f(x) xác định trên K hoặc K ∖ $x_0$

Xem thêm: Công thức giới hạn dãy số

Giới hạn của hàm số tại vô cực

Giới hạn của hàm số là lim

Các dạng bài tập công thức giới hạn của hàm số

Dưới đây là các dạng bài tập công thức giới hạn của hàm số. Phần tiếp theo của chương trình là công thức hàm số lượng giác – phần kiến thức quan trọng luôn có mặt trong các kỳ thi.

Dạng 1: Giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại

– Áp dụng quy tắc về giới hạn tới vô cực:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 2: Giới hạn tại vô cực

Phương pháp giải:

– Rút lũy thừa có số mũ lớn nhất

– Áp dụng quy tắc giới hạn tới vô cực

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 3: Sử dụng nguyên lý kẹp

Nguyên lí kẹp:

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x₀ (có thể các hàm đó không xác định tại x₀). Nếu

Phương pháp giải toán:

Xét tính bị chặn của hàm số f(x) bởi hai hàm số g(x) và h(x) sao cho

Chú ý tính bị chặn của hàm số lượng giác:

$\begin{array}{c}-1\le \sin x\le 1\end{array}$

$\begin{array}{c}-1\le \cos x\le 1\end{array}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số:

Lời giải

Dạng 4: Giới hạn dạng vô định 0/0

Nhận biết dạng vô định 0/0:

 

 

 

trong đó f(x₀) = g(x₀) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta phân tích f(x) và g(x) sao cho xuất hiện nhân tử chung là (x – x₀)

Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x₀ thì ta có: f(x) = (x – x₀)f₁(x).

* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x – x₀)f₁(x) và g(x) = (x – x₀)g₁(x).

Khi đó

, nếu giới hạn này có dạng $\frac{0}{0}$ thì ta tiếp tục quá trình như trên.

Chú ý: Nếu tam thức bậc hai ax² + bx + c có hai nghiệm x₁ ; x₂ thì ta luôn có sự phân tích: ax² + bx + c = a(x – x₁) (x – x₂)

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:

 

 

 

 

 

Ví dụ minh họa:

Lời giải

Dạng 5: Giới hạn dạng vô định $\frac{\mathrm{\infty /}}{\infty }$

 

 

 

 

 

 

Phương pháp giải:

– Chia tử và mẫu cho xⁿ với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử xⁿ rồi giản ước).

– Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa x^k ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Xem thêm: Công thức đạo hàm cấp cao

Dạng 6: Giới hạn dạng vô định $\infty -\infty$  và $0.\infty$

Phương pháp giải:

– Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

– Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

 

 

 

 

 

Lời giải

Dạng 7: Tính giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính giới hạn tới vô cực

 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

 

Xem thêm: Công thức đạo hàm cấp n

Video hướng dẫn áp dụng công thức giới hạn của hàm số

Dưới đây là video hướng dẫn áp dụng công thức giới hạn của hàm số – kiến thức quan trọng của Toán 11. Bạn có thể tham khảo để hiểu hơn về phần kiến thức quan trọng này nhé.

 

Tổng hợp công thức Toán 11 đầy đủ nhất

Dưới đây thì trang web thcsmacdinhchi.edu.vn tổng hợp công thức Toán 11 thi THPT mà bạn có thể tham khảo để nắm vững kiến thức nhé:

Công thức cấp số nhân, cấp số cộng

Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức xác suất

Phép đối xứng tâm

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Các công thức về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Công thức nhị thức niu tơn

Tính tổng các hệ số trong khai triển

Tìm hệ số trong khai triển

Công thức cấp số nhân lùi vô hạn

Công thức cấp số nhân lớp 11

Các công thức cấp số cộng

Công thức dãy số

Công thức tính tổng dãy số

Công thức tính công bội của cấp số nhân

Công thức tính công sai của cấp số cộng

Công thức logarit và đạo hàm

Công thức cộng xác suất

Công thức nhân xác suất

Tổng kết

Thông qua bài viết trên đây của trang web thcsmacdinhchi.edu.vn, hy vọng bạn đọc đã có thể biết được chi tiết công thức giới hạn của hàm số cũng như những thông tin có liên quan. Tiếp tục theo dõi những bài viết khác của chúng tôi để biết thêm nhiều thông tin bổ ích về toán học, vật lý nhé.