|

Công thức dãy số cần nắm và ví dụ minh họa

Công thức dãy số là một trong những công thức cần nhớ trong hệ thông kiến thức toán 11. Để có thể biết được cách giải bài tập nhanh chóng thì việc nắm được các kiến thức như công thức dãy số là việc quan trọng. Hôm nay THCS Mạc Đĩnh Chi sẽ cung cấp cho bạn đầy đủ các kiến thức về công thức dãy số và các bài tập, ví dụ minh họa để có thể tham khảo thông qua bài viết dưới đây nhé!

Tìm hiểu về công thức dãy số

Công thức dãy số là gì?

Dãy số thường được viết dưới dạng triển khai u1, u2, u2,…, un; trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un) là số hạng thứ n và gọi Đây là số hạng tổng quát, u1 là số hạng đầu của dãy số (un).

– VD 1: Dãy các số tự nhiên chẵn: 2, 4, 6, 8,… có số hạng đầu u1 = 2 số hạng tổng quát un = 2n.

– Ví dụ 2: Dãy các số chính phương: 1, 4, 9, 16,… có số hạng đầu u1 = 1 và số hạng tổng quát un = n^2

Một vài loại dãy số thường gặp:

Dãy số tăng:

– Dãy số un còn được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ N*

– Ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5,…, 100, 101 là dãy số tăng vì số hạng sau luôn lớn hơn số hạng trước.

Dãy số giảm:

– Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu như un+1 < u với mọi n ∈ N*.

– Ví dụ: 49, 46, 43, 40,…, 3, 0 là dãy số giảm do số hạng sau luôn nhỏ hơn số hạng trước.

ngoài ra còn có dãy số hữu hạn và dãy số vô hạn.

Công thức tính tổng dãy số cách đều

Dưới đây là công thức tính tổng dãy số cách đều. Nhấp vào công thức tính tổng dãy số để hiểu thêm hơn về công thức tính tổng dãy số của tất cả các dạng cũng như những dạng bài tập có thể gặp của phần kiến thức này nhé.

công thức dãy số

Tính số hạng của dãy số

Số số hạng của dãy = (Số hạng cuối – Số hạng đầu) : cơ quan khoảng cách + 1

Ví dụ: Dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100

Số số hạng của dãy số trên là:

(100 – 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)

Trong đó:

  • 100 là Số hạng cuối
  • 1 là Số hạng đầu
  • là tổ chức khoảng cách giữa các số hạng của dãy

Công thức tính tổng dãy số cách đều

Tổng của dãy số cách đều = (Số hạng đầu + Số hạng cuối) x Số số hạng của dãy : 2

Ví dụ: Dãy số 2 + 4 + 6 + … + 48 + 50

Số số hạng của dãy số trên là:

(50 – 2) : 2 + 1 = 25 (số hạng)

Tổng của dãy số cách đều trên là:

( 2 + 50 ) x 25 : 2 = 650

Trong đó:

  • 2 là Số hạng đầu
  • 50 là Số hạng cuối
  • 25 là số số hạng của dãy

Công thức tính số cuối dãy số cách đều

Số cuối dãy số cách đều = Số hạng đầu + (số số hạng – 1) x cơ quan khoảng cách

Ví dụ: Dãy số 1 + 3 + 5 + 7 + … Có 25 số hạng. Tìm số hạng cuối của dãy số trên?

Số hạng cuối của dãy số trên là:

1 + ( 25 – 1) x 2 = 49

Trong đó:

  • 1 là số hạng đầu của dãy số
  • 25 là số số hạng của dãy số
  • là tổ chức khoảng cách

Công thức tính số đầu dãy số cách đều

Số đầu dãy số cách đều = số hạng cuối – (số số hạng – 1) x đơn vị khoảng cách

Ví dụ:Tìm số hạng trước tiên của dãy số cách đều biết dãy có 50 số hạng, số cuối bằng 100, khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy là 2 đơn vị.

Số hạng đầu của dãy số cách đều đó là:

100 – ( 50 – 1 ) x 2 = 2

Tham Khảo Thêm:  Công thức nhân 3 và 4 - Công thức lượng giác chi tiết

Trong đó:

  • 100 là Số hạng cuối
  • 50 là Số số hạng
  • là tổ chức khoảng cách

Công thức tính trung bình cộng của dãy số các đều

Trung bình cộng của dãy số cách đều = Tổng của dãy số : Số số hạng

Ví dụ: Dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100

Số số hạng của dãy số trên là:

( 100 – 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)

Tổng của dãy số trên là:

( 1 + 100) x 100 : 2 = 5050

Trung bình cộng của dãy số trên là:

5050 : 100 = 50,5

Trong đó:

  • 5050 là tổng của dãy số
  • 100 là số số hạng

Lưu ý các công thức dãy số

– Đối với dạng bài toán tính tổng dãy số cách đều thì chúng ta phải có tập trung xác định số hạng đầu, số hạng cuối và số số hạng của dãy số, hai số liên tiếp trong dãy số cách nhau bao nhiêu cơ quan (đơn vị khoảng cách)

– Trong bài toán có số số hạng là số lẻ thì số ở giữa bằng (số cuối + số đầu) : 2

– tùy theo từng bài toán cụ thể và việc dãy số tăng dần hay giảm dần để Áp dụng quy tắc một cách hợp lý.

Xem thêm: Công thức tính công bội của cấp số nhân

Công thức tính tổng dãy số không cách đều

Dãy số không cách đều là dãy số Fibonacci hoặc tribonacci. Dãy số có tổng ( hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số

Ví dụ: Tính A = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4+….+n x (n + 1)

Lời giải

3 x A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 3 + 3 x 4 x 3+…+n x (n + 1) x 3

= 1 x 2 x (3 – 0) + 2 x 3 x (4 – 1) + 3 x 4 x (5 – 2)+….+n x (n + 1) x [(n + 2) – (n + 1)]

= 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4+….+n x (n + 1) x (n + 2) – (n – 1) x n x (n + 1)

= n x (n + 1) x (n + 2)

=> A = n x (n + 1) x (n + 2) : 2

Một số quy luật thường gặp trong dãy số

Điều đầu tiên ta cần làm khi tính tổng dãy số là nắm rõ ràng quy luật của dãy số. một vài quy luật thường gặp như sau:

Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ 2 trở đi) bằng tổng (hoặc hiệu) số hạng đứng trước nó với một số tự nhiên a.

– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi) bằng tích (hoặc thương) của số hạng đứng trước nó với một số tự nhiên a khác 0.

– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ ba trở đi) bằng hai số hạng đứng liền trước nó cộng lại.

– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ tư trở đi) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số thứ tự của số hạng đó cộng với số tự nhiên d bất kỳ.

– Số hạng đứng sau bằng tích của số thứ tự của số hạng đó nhân với số hạng đứng trước.

– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ 2 trở đi) đều bằng tích của số liền trước nó với số a bất kỳ.

– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi), mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nó cộng (trừ) n (với n khác 0).

Phương pháp làm bài toán tính tổng một dãy số

Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số

Trước hết ta cần nắm rõ ràng lại quy luật của dãy số:

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một vài tự nhiên a.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với một vài tự nhiên q khác 0.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng liền trước nó.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.

Tham Khảo Thêm:  Cách giải bất phương trình bậc 2: Tìm hiểu và áp dụng hiệu quả

+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự của nó.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi đều bằng a lần số liền trước nó.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nó cộng (trừ ) n (n khác 0).

Xem thêm: Công thức tính công sai của cấp số cộng

Cách giải bài toán áp dụng công thức dãy số có quy luật cách đều lớp 5

Mong muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy – số hạng bé nhất của dãy): khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng khổng lồ nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2

Ví dụ 1: Tính số lượng số hạng của dãy số sau:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100.

Ta thấy:

4 – 1 = 3

7 – 4 = 3

10 – 7 = 3

97 – 94 = 3

100 – 97 = 3

Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị. Nên số lượng số hạng của dãy số đã cho là:

(100 – 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng)

b) Tính tổng của dãy số cách đều:

Tổng = [ (số đầu + số cuối) x Số lượng số hạng ] : 2

VD : Tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 là:

[ (1+ 100) x 34 ] : 2 = 1717

ví dụ 2: Tính giá trị của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + ……………………… + 2014.

Phân tích: Đây là dạng bài căn bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy luật cách đều, chúng ta hướng dẫn học sinh tính giá trị của A theo 2 bước căn bản ở trên.

Bài giải

Dãy số trên có số số hạng là:

(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)

chất lượng của A là:

(2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105

Đáp số: 2029105

ví dụ 3: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ……………

Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên?

Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách để tìm số hạng lớn nhất trong dãy là: Số hạng khổng lồ nhất = (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp+ số hạng bé nhất trong dãy.

Bài giải

Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là:

(2014 – 1) x 2 + 2 = 4028

Đáp số: 4028

VD 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ khổng lồ nhất trong dãy đó là 2013?

Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là: Số hạng bé nhất = Số hạng khổng lồ nhất – (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó học sinh sẽ dễ dàng tính được tổng theo đòi hỏi của bài toán.

Bài giải

Số hạng bé nhất trong dãy số đấy là:

2013 – (50 – 1) x 2 = 1915

Tổng của 50 số lẻ cần tìm là

(2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200

Đáp số: 98200

VD 5: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đấy bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đấy là số nào?

phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đấy ta chỉ dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đấy.

Tham Khảo Thêm:  Tính 10+ Công thức tính khoảng cách trong Oxyz lớp 10, 12

Bài giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:

(15 – 1) x 2 = 28

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là:

915 x 2 : 15 = 122

Số nhà trước tiên trong dãy phố đó là:

(122 – 28) : 2 = 47

Đáp số: 47

Xem thêm: Công thức giới hạn dãy số

Một số bài toán về tính tổng dãy số cách đều và không cách đều

Bài tập tính tổng dãy số cách đều

Bài tập 1: Tính giá trị của T biết: T = 2 + 3 + 4 + 5 +….+ 2015

Lời giải

Dãy số trên có số số hạng là: (2015 – 1) : 2 + 1 = 1008

chất lượng của T là: (2015 + 2) x 1008 : 2 = 1016568

Đáp số: 1016568

Bài tập 2: Tính tổng 40 số lẻ liên tiếp biết số lẻ khổng lồ nhất trong dãy số là 2011?

Lời giải

Số hạng bé nhất trong dãy số đó là: 2011 – (40 – 1) x 2 =1933

Tổng của 40 số lẻ cần tìm là: (2011 + 1933) x 40 : 2 = 78880

Đáp số: 78880

Bài tập 3: Một khu phố có 25 nhà. Số nhà cuả 25 nhà đấy được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 25 số nhà của dãy số đấy bằng 1145. Hãy cho biết số nhà trước tiên của khu phố đấy là số bao nhiêu?

Lời giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà trước tiên là: (25 – 1) x 2 = 48

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 1145 x 2 : 25 = 91,6

Số nhà trước tiên trong khu phố đấy là: (91,6 – 48) : 2 = 21,8

Đáp số: 21,8

Bài tập tính tổng dãy số không cách đều

Bài tập 1: Tính M = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 +….+ (n – 1) x n x (n + 1)

Lời giải

4 x M = 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 4+ … + (n – 1) x n x (n + 1) x 4

= 1 x 2 x 3 x (4 – 0) + 2 x 3 x 4 x (5 – 1)+….+ (n – 1) x n x (n + 1) x [(n + 2) – (n – 2)]

= 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 – 1 x 2 x 3 x 4 +….+ (n – 1) x n x (n + 1) x (n + 2) – (n – 2) x (n – 1) x n x (n + 1)

= (n – 1) x n x (n + 1) x (n + 2)

=> M = (n – 1) x n x (n + 1) x (n + 2) : 4

Bài tập 2: Tính N = 1.4 + 2.4 + 3.6 + 4.7+…+ n(n + 3)

Lời giải

Ta có: 1.4 = 1.(1 + 3) = 1.(1 + 1 + 2) = 1.(1 + 1) + 2.1

2.5 = 2.(2 + 3) = 2.(2 + 1 + 2) = 2.(2 + 1) + 2.2

3. 6 = 3.(3 + 3) = 3.(3 + 1 + 2) = 3.(3 + 1) + 2.3

4.7 = 4.(4 + 3) = 4.(4 + 1 + 2) = 4.(4 + 1) + 2.4

……………………..

N(n + 3) = n(n + 1) + 2n

Vậy N = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3+ … + n(n + 1) + 2n

= 1.2 + 2 + 2.3 + 4 + 3.4 + 6 + ….. + N(n + 1) + 2n

= [1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + N(n + 1) + (2 + 4 + 6 +… + 2n)

Mà 1.2 + 2.3 + 3.4+ …. + N(n + 1) = n(n+1)(n+2)/3

2 + 4 + 6 + … + 2N = (2n + 2)n/2

=> N = n(n + 1)(n + 2)/3 + (2n + 2)n/2 = n(n + 1 )(n + 5)/3

Tổng kết

Bài viết trên THCS Mạc Đĩnh Chi đã cung cấp cho bạn đầy đủ thông tin và kiến thức về công thức dãy số. Hi vọng qua bài viết này bạn có thể hiểu thêm về công thức dãy số và cách áp dụng thành thạo trong toán học. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu thêm nhiều thông tin hữu ích khác nữa nhé!

Xem thêm các bài viết liên quan:

Công thức cấp số nhân cấp số cộng

Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức xác suất

Phép đối xứng tâm

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Các công thức về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Công thức nhị thức niu tơn

Tính tổng các hệ số trong khai triển

Tìm hệ số trong khai triển

Công thức cấp số nhân lùi vô hạn

Công thức cấp số nhân lớp 11

Các công thức cấp số cộng

Công thức giới hạn của hàm số

Công thức hàm số lượng giác

Công thức đạo hàm cấp cao

Công thức đạo hàm cấp n

Công thức logarit và đạo hàm

Công thức cộng xác suất

Công thức nhân xác suất

Similar Posts

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *