Công thức cos3x: Khai triển công thức lượng giác Cos3x = 4cosx^3x – 3cosx

Cos3x là gì? Công thức cos3x là gì và cách triển khai nó ra sao? Đây là những câu hỏi mà nhiều bạn học sinh quan tâm. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu và giải đáp các thắc mắc này, cũng như cách áp dụng công thức cos3x để giải các bài tập một cách hiệu quả. Hãy cùng THCS Mạc Đĩnh Chi tham khảo nội dung dưới đây.

Công thức cos3x

Công thức cos3x:

Chứng minh công thức cos3x

Để chứng minh công thức cos3x, chúng ta sẽ thực hiện Công Thức Toán với các bước sau:

Cos3x = cos(2x + x)

= cos2x.cosx – sin2x.sinx

= (2cos2x – 1).cosx – 2sinx.cosx.sinx

= 2cos3x – cosx – 2sin2x.cosx

= 2cosx.(cos2x – sin2x) – cosx

= 2cosx.(cos2x – 1 + cos2x) – cosx

= 2cosx.(2cos2x – 1) – cosx

= 4cos3x – 2cosx – cosx

= 4cos3x – 3cosx. Điều này đã được chứng minh trong Các công thức lượng giác

Xác định hàm số y = cos3x

Tập xác định của hàm số y = cos3x

Tập xác định D = R là nơi mà hàm số y = cos3x có thể định nghĩa.

Tập giá trị của y = cos3x

Tập giá trị của y = cos3x nằm trong khoảng -1 ≤ cos3x ≤ 1.

=> Giá trị lớn nhất của y = cos3x là 1

=> Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos3x là -1

Ngoài ra chúng ta có thể áp dụng công thức liên quan là Công thức sin3x

Tính chẵn lẻ của hàm số y = cos3x

Với x ∈ D => -x ∈ D, chúng ta có:

y = cos3x

y(-x) = cos(-3x) = cos3x

=> y(x) = y(-x)

=> Hàm số này là hàm số chẵn.

Vậy hàm số y = cos3x là hàm số chẵn.

Chu kỳ tuần hoàn của hàm số y = cos3x

Đồ thị của hàm số y = cos3x

Đạo hàm và nguyên hàm công thức cos3x

Đạo hàm công thức cos3x

Cho y = cos3x

=> y’ = (cos3x)’

=> y’ = (3x)’ . [-sin(3x)]

=> y’ = -3.sin(3x)

Do đó, đạo hàm của y = cos3x là y’ = -3sin(3x)

Nguyên hàm công thức cos3x

Vậy họ nguyên hàm của hàm số y = cos3x là:

Các bài tập khai triển công thức cos3x

Dựa vào kiến thức và công thức cos3x đã trình bày ở trên, chúng ta có thể giải một số bài tập Công Thức Lượng Giác như sau:

Bài Tập 1: Tìm nghiệm của phương trình sinx + cos 3x = 0

Lời Giải:

sinx + cos 3x = 0

<=> sinx = -cos3x

<=> sinx = -sin(π/2 – 3x)

<=> sinx = sin(3x – π/2)

Trường Hợp 1 (TH1): x = 3x – π/2 + k2π

<=> -2x = -π/2 + k2π

<=> x = π/4 – kπ (k∈Z)

Trường Hợp 2 (TH2): x = π – (3x – π/2) + k2π

<=> x = π – 3x + π/2 + k2π

<=> 4x = 3π/2 + k2π

<=> x = 3π/8 + kπ/2 (k ∈ Z)

Vậy phương trình có nghiệm x = π/4 – kπ (k∈Z) hoặc x = 3π/8 + kπ/2 (k∈Z)

Bài Tập 2: Giải phương trình: cosx + cos3x = cos4x + 1

Lời Giải:

cosx + cos3x = cos4x + 1

<=> 2.cos2x.cosx = 2cos^2(2x)

<=> 2cos2x.(cosx – cos2x) = 0

<=> cos2x = 0 hoặc cos2x = cosx

<=> 2x = π/2 + kπ hoặc 2x = x + k2π hoặc 2x = -x + k2π (k ∈ Z)

<=> x = π/4 + kπ/2 hoặc x = k2π hoặc x = k2π/3 (k ∈ Z)

Vậy phương trình có nghiệm x = π/4 + kπ/2 hoặc x = k2π hoặc x = k2π/3 (k ∈ Z).

Xem thêm: Công thức sin4x

Bài Tập 3: Tìm tập nghiệm của phương trình lượng giác: cosx + cos3x = cos2x

Lời Giải:

cosx + cos3x = cos2x

=> 2cos2x.cosx = cos2x

=> 2cos2x.cosx – cos2x = 0

=> cos2x.(2cosx – 1) = 0

=> cos2x = 0 hoặc 2cosx – 1 = 0

=> 2x = π/2 + k2π hoặc cosx = 1/2

=> x = π /2 + kπ hoặc x = ± π/3 + k2π (k € Z)

Vậy phương trình lượng giác có tập nghiệm: x = π /2 + kπ hoặc x = ± π/3 + k2π (k € Z)

Tổng kết