|

Công thức cấp số nhân lớp 11: Lý thuyết, công thức và bài tập

Công thức cấp số nhân lớp 11 là một trong những công thức quan trọng của toán 11. Các kiến thức về Công thức cấp số nhân lớp 11, để có thể nắm chắc được thì cần phải nắm rõ lý thuyết, công thức,… Hãy cùng THCS Mạc Đĩnh Chi tham khảo về lý thuyết, công thức cấp số nhân lớp 11 và các dạng bài tập minh họa ngay bài viết dưới đây nhé!

Lý thuyết công thức cấp số nhân lớp 11

Công thức cấp số nhân lớp 11
Công thức cấp số nhân lớp 11

Định nghĩa:

Cấp số nhân là một dãy số, có thể là dãy hữu hạn hoặc vô hạn trong toán học. Trong cấp số nhân, từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng được tính bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội.

Số không đổi q trong công thức được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, chúng ta có công thức truy hồi: un = un-1 * q, với n thuộc tập số tự nhiên (N*).

Đặc biệt:

  • Khi q = 0, cấp số nhân sẽ có dạng: u1; 0; 0; … 0; … (tiếp tục với các số 0).
  • Khi q = 1, cấp số nhân sẽ có dạng: u1; u1; u1; … u1; … (tiếp tục với số hạng u1).
  • Khi số hạng đầu u1 = 0, thì với mọi giá trị của q, cấp số nhân sẽ có dạng: 0; 0; 0; … 0; … (tiếp tục với các số 0).

Xem thêm: Công thức tính công bội của cấp số nhân

Số hạng tổng quát của cấp số nhân (un) được xác định bởi công thức:

un = u1 * q^(n – 1), với mọi n thuộc tập số tự nhiên (N), n ≥ 2.

Tính chất:

Ba số hạng liên tiếp uk – 1, uk, uk + 1 của cấp số cộng khi và chỉ khi u2k = uk – 1 * uk + 1, với k ≥ 2.

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

S_n = u1 * (1 – q^n) / (1 – q).

Tham Khảo Thêm:  Công thức tính công sai của cấp số cộng

Chú ý: Nếu q = 1, cấp số nhân sẽ là u1; u1; u1; … u1; … trong trường hợp này, S_n = n * u1.

Ví dụ 1:

Cho cấp số nhân (un) với u₁ = 3, q = -2.

a) Để tính số hạng thứ 25 của cấp số nhân, ta sử dụng công thức: uₙ = u₁ * q^(n – 1).

u₂₅ = 3 * (-2)^(25 – 1) = 3 * (-2)^24.

b) Để tìm số hạng thứ 49152 của cấp số nhân, ta sử dụng công thức truy hồi:

uₖ = u₁ * q^(k – 1) = 3 * (-2)^(k – 1).

Giải phương trình: 3 * (-2)^(k – 1) = 49152.

Ta thấy (-2)^14 = 16384, nên k – 1 = 14, k = 15.

Vậy, số 49152 là số hạng thứ 15 của cấp số nhân.

c) Để tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:

Sₙ = u₁ * (1 – qⁿ) / (1 – q).

S₁₀₀ = 3 * (1 – (-2)^100) / (1 – (-2)) = 3 * (1 – 2^100) / 3 = 1 – 2^100.

Ví dụ 2:

Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn:

u₂₀ = 8 * u₁₇,

u₁ + u₅ = 272.

a) Để tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân, ta giải hệ phương trình:

u₁₇ = 8 * u₁₆, u₁ + u₅ = 272.

Từ phương trình thứ nhất, ta có u₁₆ = u₁ * q₁₆ = 8 * u₁.

Thay vào phương trình thứ hai:

u₁ + u₁ * q₄ = 272, u₁ * (1 + q₄) = 272.

Do đó, 1 + q₄ = 272 / u₁.

Từ phương trình thứ nhất:

1 + q₁₆ = 8, q₁₆ = 7.

Suy ra:

272 / u₁ = 1 + 7^4, 272 / u₁ = 240.

Vậy u₁ = 272 / 240 = 17/15 và q = 7.

b) Để tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:

Sₙ = u₁ * (1 – qⁿ) / (1 – q).

S₁₀₀ = (17/15) * (1 – 7¹⁰⁰) / (1 – 7) = (17/15) * (1 – 7¹⁰⁰) / (-6).

c) Để tính tổng S = u₁ + u₃ + u₅ + u₇ + … + u₂₀₁, ta thấy rằng dãy số này là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ và công bội q’ = u₃ / u₁ = 4.

Tham Khảo Thêm:  Công thức logarit và đạo hàm [Tổng hợp chi tiết]

Dãy (vn) có 101 số hạng (từ u₁ đến u₂₀₁).

S = u₁ * (1 – q’¹⁰¹) / (1 – q’) = (17/15) * (1 – 4¹⁰¹) / (1 – 4).

Hãy kiểm tra lại kết quả tính toán vì có một số lỗi chính tả và phát biểu trong ví dụ 2.

Xem thêm: Công thức tính tổng dãy số

Bài tập áp dụng công thức cấp số nhân lớp 11 có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Cho cấp số nhân ( u ), biết công bội q = 3 và số hạng đầu tiên u1 = 8. Hãy tìm số hạng thứ 2

A. 24

B. 16

C. 32

D. 40

chỉ dẫn giải

Áp dụng quy tắc cấp số nhân: un+1=un.q

  • q = 3
  • số hạng thứ 2: n + 1 = 2 => n = 1
  • u1 = 8

Thay số vào: u1+1=u1.q⇒u2=8.3=24

Chọn đáp án A.

Bài tập 2. Cho cấp số nhân ( un ), biết số hạng trước tiên u1 = 8 và số hạng kế tiếp u2 = 24. Hãy tìm công bội của dãy số này

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cấp số nhân tổng quát: un+1=un.q

  • u1 = 8
  • u2 = 24

Thay số vào: u2=u1.q⇒24=8.q⇒q=248=3

Chọn đáp án D.

Bài tập 3. Cho cấp số nhân ( un ), biết rằng số hạng đầu tiên u1 = 3, công bội là 2. Hãy tìm số hạng thứ 5

A. 96

B. 48

C. 24

D.12

Chỉ dẫn giải với Công thức cấp số nhân lớp 11, lưu ý không áp dụng Các công thức cấp số cộng:

Áp dụng cách thức số hạng bất kì: un=u1.qn–1

  • u1 = 3
  • q = 2
  • n = 5

Thay số vào: u5=3.25–1=48

Chọn đáp án B.

Bài tập 4. Cho cấp số nhân ( un ), biết công bội q = – 3 và số hạng đầu tiên u1 = 4. Hãy tỉnh tổng của 6 số hạng đầu tiên

A. 244

B. 82

C. 122

D. 730

hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc tính tổng của n số hạng đầu tiên: Sn=u11–qn1–q

  • q = – 3
  • u1 = 4

Thay số vào: S6=u11–q61–q=5.1–(–2)61–(–2)=730

Tham Khảo Thêm:  Tính 10+ Công thức tính khoảng cách trong Oxyz lớp 10, 12

Chọn đáp án D.

Bài tập 5. Cho cấp số nhân ( un ), biết rằng u1 = – 0,5 và số hạng thứ 7 là u7 = – 32. Hãy tìm công bội

A. Q = 2

B. Q = – 2

C. Q = ± 2

D. Q = 3

Hướng dẫn giải áp dụng Công thức cấp số nhân lớp 11:

Áp dụng quy tắc số hạng bất kì: un=u1.qn–1

  • n = 7
  • u1 = – 0,5
  • u7 = – 32

Thay số vào: –32=(–0,5).q7–1⇒q=±2

Chọn đáp án C.

Bài tập 6. Biết rằng một cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = 8, công bội q = 2 và số hạng thứ n là un = 256. Hỏi n bằng bao nhiêu

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Chỉ dẫn giải

Áp dụng quy tắc cấp số nhân: un=u1.qn–1

  • u1 = 8
  • q = 2
  • un = 256

Thay số vào: 256=8.qn–1⇒qn–1=32⇒qn–1=25

=> n – 1 = 5=> n = 6

Chọn đáp án C.

Xem thêm: Công thức dãy số

Tổng kết

Bài viết trên Thcsmacdinhchi.edu.vn đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức về công thức cấp số nhân lớp 11, lý thuyết, bài tập có lời giải và ví dụ minh họa chi tiết. Hi vọng bài viết trên có thể giúp bạn tham khảo và giải toán dễ dàng hơn. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu thêm nhiều kiến thức khác nữa nhé!

Xem thêm các bài viết liên quan:

Công thức cấp số nhân cấp số cộng

Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức xác suất

Phép đối xứng tâm

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Các công thức về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Công thức nhị thức niu tơn

Tính tổng các hệ số trong khai triển

Tìm hệ số trong khai triển

Công thức cấp số nhân lùi vô hạn

Công thức tính công sai của cấp số cộng

Công thức giới hạn dãy số

Công thức giới hạn của hàm số

Công thức hàm số lượng giác

Công thức đạo hàm cấp cao

Công thức đạo hàm cấp n

Công thức logarit và đạo hàm

Công thức cộng xác suất

Công thức nhân xác suất

Similar Posts

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *