Công thức cấp số nhân cấp số cộng kèm ví dụ minh họa

Công thức cấp số nhân cấp số cộng là một trong những công thức quan trọng trong chương trình toán 11. Hôm nay THCS Mạc Đĩnh Chi sẽ cung cấp cho bạn các lý thuyết kiến thức dễ nhớ và các bài tập để làm ví dụ minh họa về công thức cấp số nhân cấp số cộng cho các bạn áp dụng trong bài viết dưới đây.

Có thể bạn quan tâm

Hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây cùng thcsmacdinhchi.edu.vn để tìm hiểu chi tiết về kiến thức công thức cấp số nhân cấp số cộng kèm ví dụ minh họa nhé!

Bạn đang xem: Công thức cấp số nhân cấp số cộng kèm ví dụ minh họa

Công thức cấp số nhân cấp số cộng là gì?

Cấp số nhân là gì?

Trong chương trình toán học THPT, cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện số thứ hai của dãy số đấy là tích của số đứng trước với 1 số không đổi. Số không đổi này còn được nhắc đên là công bội của cấp số nhân. Từ đó ta có khái niệm về cấp số nhân như sau:

Un là cấp số nhân đồng nghĩa với un+1=un.q, trong số đó n∈N
q là công bội và q được tính: q=un+1un�=��+1��

Số hạng tổng quát

Để có khả năng tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, chúng ta áp dụng cách thức sau:

un =u1. Qn-1

tính chất của cấp số nhân

Tổng n số hạng đầu

Cấp số cộng

Cấp số cộng được dùng để chỉ một dãy số thỏa mãn số đứng sau bằng tổng của số đứng trước với một số không đổi. Số không đổi này gọi là công sai.

Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Từ đấy con người có định nghĩa:

Un là cấp số cộng nếu: un + 1 = un + d

trong số đó có d là công sai = un + 1 – un

Số hạng tổng quát

chúng ta tính được số hạng tổng quát bằng việc thông qua số hạng đầu và công sai có bí quyết như sau:

un = u1 + (n – 1)d

tính chất cấp số cộng

Tổng n số hạng đầu

Bạn cũng có thể tham khảo thêm bài viết Công thức nhân 3.

Tổng hợp các công thức cấp số nhân cấp số cộng

bí quyết cấp số nhân cấp số cộng rất dễ ghi nhớ. Đây là các công thức xoay quanh tới giá trị đặc trưng của 2 dạng dãy số này.

Tham Khảo Thêm: Công thức cộng xác suất - Lí thuyết và bài tập

Công thức cấp số cộng

bí quyết cấp số cộng tổng quát:

un = um + (n-m)d

Từ công thức tổng quát trên ta suy ra số hạng thứ hai trở đi của cấp số cộng bằng trung bình cộng của 2 số hạng liền kề nó.

Ví dụ: Số hạng thứ hai của cấp số cộng là gồm bao nhiêu biết số hạng thứ 7 là 100, công sai là 2.

Giải:

Áp dụng quy tắc ta có số hạng thứ hai của cấp số cộng là:

con người có 2 công thức để tính tổng n số hạng đầu so với cấp số cộng. Ta có:

Ví dụ: Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng biết cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2.

Giải:

Áp dụng quy tắc ta có:

Bạn cũng có thể xem thêm về: Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức cấp số nhân

Ta xét các cấp số nhân mà số hạng đầu và công bội khác 0. Điều đấy có nghĩa toàn bộ các số hạng của cấp số nhân khác 0. Ta có công thức cấp số nhân:

un=um.qn-m

Ví dụ: Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 32 và công bội bằng 2. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân

Giải:

Áp dụng quy tắc ta có:

Từ bí quyết trên ta suy ra được các công thức:

un = u1.qn-1, $\forall$ n $\geq$ 2

$\forall$ k $\geq$ 2

Tổng n số hạng đầu cấp số nhân được tính theo công thức:

Ví dụ: Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân.

Giải: áp dụng cách thức ta có:

Xem thêm: Công thức xác suất

Ví dụ minh họa cấp số cộng cấp số nhân chi tiết

Tìm công sai d của cấp số cộng

[Trích từ đề thi tham khảo lần 2 – năm 2020] Cho cấp số cộng (u_n) với u₁ = 3, u₂ = 9. Tìm công sai của cấp số cộng:

chỉ dẫn giải:

Cấp số cộng U_nvới số hạng tổng quát U_n= U₁+ d(n−1)

Với số hạng đầu U₁và công sai d

Từ đó ta có: U₂= U₁ + d ⇔ 9 = 3 + d ⇔ d = 6

Vậy, công sai của cấp số cộng là 6.

Cách tính tổng của cấp số cộng của n số hạng trước tiên

Tìm công bội q của cấp số nhân

Gợi ý dạng bài tập tìm công bội q của bí quyết cấp số nhân

Cách tìm các số hạng của cấp số nhân Un

Gợi ý bài tập về các số hạng của cấp số nhân U_n

Tham khảo thêm: Phép đối xứng tâm

Một số bài tập áp dụng công thức cấp số nhân cấp số cộng

Câu hỏi 1: Cho một cấp số cộng với u1 = 3 và u2 = 9, tìm chênh lệch chung.

Tham Khảo Thêm: Công thức nhân 3 và 4 - Công thức lượng giác chi tiết

Xem thêm : Tổng hợp các công thức cấp số cộng và bài tập minh họa chi tiết

Giải pháp:

Để giải nhanh một cấp số cộng, sử dụng các công thức cho cấp số cộng và cấp số nhân.

Câu hỏi 2: Trong một cấp số cộng với u1 = -3 và u6 = 27, tìm giá trị của d.

Xem thêm : Tổng hợp các công thức cấp số cộng và bài tập minh họa chi tiết

Giải pháp:

Bằng cách sử dụng công thức cho cấp số cộng, ta có:
u6 = 27 ⇔ u1 + 5d = 27 ⇔ -3 + 5d = 27 ⇔ d = 6.

Câu hỏi 3: Tìm bốn số liên tiếp trong một cấp số cộng, biết rằng tổng của chúng là 20 và tổng bình phương của chúng là 120.

Xem thêm : Tổng hợp các công thức cấp số cộng và bài tập minh họa chi tiết

Giải pháp:

Giả sử bốn số đó là a + x, a – 3x, a – x và a + 3x, với chênh lệch chung d = 2x. Khi đó, ta có:
{(a – 3x) + (a – x) + (a + x) + (a + 3x) = 20
(a – 3x)^2 + (a – x)^2 + (a + x)^2 + (a + 3x)^2 = 120
Giải các phương trình này, ta tìm được a = 5 và x = ±1.
Do đó, bốn số đó là 2, 4, 6 và 8.

Câu hỏi 4: Trong một dãy số (un) với chênh lệch chung là -2 và S8 = 72, tính u1.

Xem thêm : Tổng hợp các công thức cấp số cộng và bài tập minh họa chi tiết

Giải pháp:

Ta có:
⎧⎩⎨Sn = n(u1 + un)/2
d = un – u1 / (n – 1)
Do đó:
u1 + u8 = 2S8:8
u8 – u1 = 7d
Giải các phương trình này, ta tìm được:
u1 = 16.

Câu hỏi 5: Xác định giá trị của a để các số 1 + 3a, a^2 + 5 và 1 – a tạo thành một cấp số cộng.

Xem thêm : Tổng hợp các công thức cấp số cộng và bài tập minh họa chi tiết

Giải pháp:

Các số 1 + 3a, a^2 + 5 và 1 – a tạo thành một cấp số cộng nếu và chỉ nếu:
a^2 + 5 – (1 + 3a) = 1 – a – (a^2 + 5)
Rút gọn phương trình này, ta có:
a^2 – 3a + 4 = -a^2 – a – 4
a^2 – a + 4 = 0
Phương trình bậc hai này không có nghiệm.
Bài tập về cấp số nhân

Câu hỏi 1: Cho một cấp số nhân (un) với u1 = -2 và q = -5, viết ra ba số tiếp theo và công thức tổng quát un.

Xem thêm : Tổng hợp các công thức cấp số cộng và bài tập minh họa chi tiết

Giải pháp:

Sử dụng công thức cho cấp số nhân:
u2 = u1 * q = (-2) * (-5) = 10
u3 = u2 * q = 10 * (-5) = -50
u4 = u3 * q = -50 * (-5) = 250
Công thức tổng quát un = u1 * q^(n-1) = (-2) * (-5)^(n-1).

Câu hỏi 2: Cho một cấp số nhân (un) với u1 = -1 và q = -1/10. Hãy xác định số thứ tự của 110103 trong cấp số nhân.

Tham Khảo Thêm: [CHI TIẾT] Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản - Toán 11

Xem thêm : Tổng hợp các công thức cấp số cộng và bài tập minh họa chi tiết

Giải pháp:

Ta có:
un = u1 * q^(n-1)
110103 = -1 * (-1/10)^(n-1)
n-1 = 103
n = 104

Câu hỏi 3: Xác định liệu dãy số sau có phải là một cấp số nhân hay không. Nếu đúng, hãy tìm tỷ số chung.
un = -3n – 15

Xem thêm : Tổng hợp các công thức cấp số cộng và bài tập minh họa chi tiết

Giải pháp:

Sử dụng công thức cho cấp số nhân đã đề cập trước đó, ta có thể thấy rằng:
un+1 / un = 3
Vì vậy, dãy số (un) là một cấp số nhân với tỷ số chung là 3.

Câu hỏi 4: Cho một cấp số nhân với các số -15, a và -1125. Tìm giá trị của a.

Xem thêm : Tổng hợp các công thức cấp số cộng và bài tập minh họa chi tiết

Giải pháp:

Sử dụng công thức cho cấp số nhân, ta có:
a^2 = (-15) * (-1125) = 1625
a = ±125

Câu hỏi 5: Tính tổng của cấp số nhân vô hạn (un) với un = 12n.

Xem thêm : Tổng hợp các công thức cấp số cộng và bài tập minh họa chi tiết

Giải pháp:

Ta có:

n = 1 => u1 = 12^1 = 12
n = 2 => u2 = 12^2 = 144

Do đó, tỷ số chung là q = 12.

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân vô hạn, ta có:
S = u1 / (1 – q) = 12 / (1 – 12) = 1.

Tổng kết

Bài viết trên thcsmacdinhchi.edu.vn đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức về công thức cấp số nhân cấp số cộng để bạn có thể tham khảo. Ngoài ra chúng tôi còn cung cấp các bài tập và ví dụ minh họa để bạn có thể áp dụng và nhớ lâu hơn. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu thêm nhiều thông tin hữu ích khác ngay tại website này nhé!