Công thức biến đổi tích thành tổng: Lý thuyết & Cách giải Toán 10

Trong toán học, công thức biến đổi tích thành tổng là một công cụ mạnh mẽ và hữu ích giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến tích và tổng. Công thức này không chỉ giúp chúng ta tìm ra giá trị của một tổng, mà còn giúp chúng ta nhìn thấy sự tương quan giữa tích và tổng, mở ra một cách tiếp cận khác để giải quyết các bài toán phức tạp.

Có thể bạn quan tâm

Tại sao cần sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng?

Công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng là một bí quyết cần thiết trong toán học, quan trọng nhất là trong lượng giác. công thức này cho phép chuyển đổi tích của hai hàm lượng giác thành tổng của các hàm lượng giác không giống nhau, giúp ta đơn giản tính toán hơn. Việc dùng công thức này giúp ta xử lý các bài toán khó hiểu liên quan đến lượng giác, chẳng hạn như công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản, công thức hàm số lượng giác, tìm kiếm các mẫu quen thuộc trong các biểu thức lượng giác. Vì điều đó, việc nắm vững công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng là rất cần thiết trong việc học tập toán học, đặc biệt là trong lượng giác.

Bạn đang xem: Công thức biến đổi tích thành tổng: Lý thuyết & Cách giải Toán 10

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng vào các bài toán?

Để áp dụng công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng, bạn phải cần thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định công thức cần sử dụng theo loại bài toán.
Có nhiều bí quyết lượng giác biến đổi tích thành tổng khác nhau, bạn cần định vị rõ công thức cần sử dụng tùy theo loại bài toán.
Bước 2: Thay thành quả các góc vào công thức.
Để tính được giá trị của biểu thức trong công thức, bạn phải cần thay giá trị của các góc vào bí quyết.
Bước 3: Tính tổng các số hạng.
một khi thay thành quả và biến đổi biểu thức, bạn phải cần tính tổng của các số hạng để tìm ra chất lượng của biểu thức ban đầu.
Bước 4: Kiểm duyệt và rút ra kết luận.
Sau khi đã tìm được giá trị của biểu thức ban đầu, bạn cần kiểm duyệt lại và rút ra kết luận cho bài toán tương ứng.

Tham Khảo Thêm: Cách Giải Rubik 3x3: Hướng Dẫn Chi Tiết Cho Người Mới Bắt Đầu

Ví dụ: Tìm giá trị của biểu thức sin 20°cos 40°.

Bước 1: Sử dụng bí quyết Sin cos = 1/2 [sin(a+b) + sin(a-b)]
Bước 2: Thay chất lượng của a và b bằng chất lượng của 20° và 40°.
sin 20°cos 40° = 1/2 [sin(20°+40°) + sin(20°-40°)]
Bước 3: Tính tổng các số hạng.
sin 20°cos 40° = 1/2 [sin60° + sin(-20°)]
= 1/2 [sin60° – sin20°]
Bước 4: Kiểm duyệt và rút ra kết luận.
sin 20°cos 40° = 1/2 [sqrt(3)/2 – 1/2]
= (sqrt(3) – 1)/4

Vậy giá trị của biểu thức sin 20°cos 40° bằng (sqrt(3) – 1)/4.

Xem thêm công thức xác xuất chi tiết để có thể nắm thêm các dạng bài tập đa dạng nhé!

Cách nhớ công thức biến đổi tích thành tổng

Cos cos nửa cos-+, + cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-+
Sin cos nửa sin-+ + sin-trừ

Cách ghi nhớ công thức biến đổi tổng thành tích

Tính sin tổng ta lập tổng sin cô

Tính cô tổng lập ta hiệu đôi cô đôi đối phương
Còn tính tan tử + đôi tan (hay là: tan tổng lập tổng 2 tan)
1 trừ tan tích mẫu sở hữu thương rầu
Nếu gặp hiệu ta chớ lo lắng,
Đổi trừ thành cùng ghi sâu trong lòng

1 cách thức nhớ khác của câu Tang mình + mang tang ta, bằng sin hai đứa trên cos ta cos mình… là tangx + tangy: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra hai đứa con mình con ta

Cách ghi nhớ công thức biến đổi tổng thành tích

Cách giải bài tập công thức biến đổi tích thành tổng

Phương pháp giải:

Tham Khảo Thêm: Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hay & chi tiết

Để làm bài tập dạng này, ta phải nắm vững công thức biến đổi tích thành tổng và sử dụng để biến đổi.

Công thức biến đổi tích thành tổng:

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: Biến đổi thành tổng: A = 2 sin⁡x.sin⁡2x.sin⁡3x

Ví dụ 3: Tính P = sin⁡α.cos⁡3α + cos²⁡α. Cho:

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác sau:

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 5: Chọn đáp án đúng: Giá trị của biểu thức A = cos⁡15^o.cos⁡45^o.cos⁡75^o là:

Hướng dẫn giải:

Trường hợp nào công thức biến đổi tích thành tổng không áp dụng được?

Bí quyết lượng giác biến đổi tích thành tổng thường được Áp dụng để giải quyết các bài tập ảnh hưởng đến tích của các hàm lượng giác. mặc dù vậy, có một số trường hợp mà công thức này không thể Dùng được, chẳng hạn như:

1. Khi tích của hai hàm lượng giác vẫn chưa có dạng phù hợp với công thức biến đổi tích thành tổng.
2. Khi tích của hai hàm lượng giác có dạng phù hợp với bí quyết này, nhưng không thể dùng các công cụ toán học ổn để xử lý VD như tích của các hàm lượng giác là một phương trình siêu khó giải.
trong những trường hợp này, cần phải chọn lựa công thức giải quyết khác để giải bài toán như tính tổng các hệ số trong khai triển, công thức nhị thức niu tơn,...

Lưu ý khi sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng?

Lúc dùng bí quyết lượng giác biến đổi tích thành tổng, cần nhớ các điều sau:

1. Bí quyết chỉ Áp dụng khi các góc trong tích là 2 góc lượng giác (sin, cos, tan) của nhau.
2. Chú ý đến dấu (+,-) của các góc lượng giác lúc thực hành biến đổi.
3. Nhớ hệ thống những công thức biến đổi tích thành tổng, bao gồm:
– cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a-b)+cos(a+b)]
– sin(a)sin(b) = 1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]
– sin(a)cos(b) = 1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]
– cos(a)sin(b) = 1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]
4. Nếu tích mang hơn 2 góc lượng giác, ta cần đưa về dạng hai góc lượng giác và thực hành biến đổi trên từng cặp.
5. So với các bài toán, nên xác định rõ mục tiêu biến đổi và tính toán tổng theo công thức biến đổi tương ứng để đạt được kết quả.

Tham Khảo Thêm: Công thức tính tổng các hệ số trong khai triển CHI TIẾT nhất

Ví dụ về công thức biến đổi tích thành tổng trắc nghiệm

Ví dụ: Biến đổi thành tổng:

a. $A = 2\sin \left( {x + y} \right).\cos \left( {x - y} \right)$

b. $B = 2\cos \left( {x + y} \right).\cos \left( {x - y} \right)$

c. $C = 4\sin 3a.\sin 2a.\sin a$

d. $D = 4.\sin 3a.\sin 2a.\cos a$

Hướng dẫn giải

a. $A = 2\sin \left( {x + y} \right).\cos \left( {x - y} \right) = \sin 2x + \sin 2y$

b. $B = 2\cos \left( {x + y} \right).\cos \left( {x - y} \right) = \cos 2x + \cos 2y$

c. Ta có:

$\begin{matrix} C = 4\sin 3a.\sin 2a.\sin a \hfill \\ = - 2\sin 2a.\left( {\cos 4a - \cos 2a} \right) \hfill \\ = - 2\cos 4a.\sin 2a + 2\sin 2a.\cos 2a \hfill \\ = - \left( {\sin 6a - \sin 2a} \right) + \sin 4a \hfill \\ = - \sin 6a + \sin 4a + \sin 2a \hfill \\ \end{matrix}$

: $\begin{matrix} D = 4.\sin 3a.\sin 2a.\cos a \hfill \\ = 2\left( {\sin 4a + \sin 2a} \right).\sin 2a \hfill \\ = 2\sin 4a.\sin 2a + 2{\sin ^2}2a \hfill \\ = - \left( {\cos 6a - \cos 2a} \right) + 1 - \cos 4a \hfill \\ = - \cos 6a - \cos 4a + \cos 2a + 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ 2: Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

$\sin a + \sin 2a + \sin 3a + ... + \sin na = \frac{{\sin \frac{{na}}{2}.\sin \frac{{\left( {n + 1} \right)a}}{2}}}{{\sin \frac{a}{2}}}$

Hướng dẫn giải

Xem thêm : Công thức hàm số lượng giác đầy đủ nhất kèm bài tập

Biến đổi vế trái ta có:

$\begin{matrix} 2.\sin \frac{a}{2}.\left( {\sin a + \sin 2a + \sin 3a + ... + \sin na} \right) \hfill \\ = 2.\sin \frac{a}{2}.\sin a + 2.\sin \frac{a}{2}.\sin 2a + 2.\sin \frac{a}{2}.\sin 3a + ... + 2.\sin \frac{a}{2}.\sin na \hfill \\ = \left( {\cos \frac{a}{2} - \cos \frac{{3a}}{2}} \right) + \left( {\cos \frac{{3a}}{2} - \cos \frac{{5a}}{2}} \right) + ... + \left[ {\cos \left( {n - \frac{1}{2}} \right)a - \cos \left( {n + \frac{1}{2}} \right)a} \right] \hfill \\ = \cos \frac{a}{2} - \cos \left( {n + \frac{1}{2}} \right)a \hfill \\ = 2\sin \frac{{na}}{2}.\sin \frac{{\left( {n + 1} \right)a}}{2} = VP = > dpcm \hfill \\ \end{matrix}$

$\sin a + \sin 2a + \sin 3a + ... + \sin na = \frac{{\sin \frac{{na}}{2}.\sin \frac{{\left( {n + 1} \right)a}}{2}}}{{\sin \frac{a}{2}}}$

Kết luận

Trong toán học, công thức biến đổi tích thành tổng là một công cụ mạnh mẽ và hữu ích giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến tích và tổng. Công thức này không chỉ giúp chúng ta tìm ra giá trị của một tổng, mà còn giúp chúng ta nhìn thấy sự tương quan giữa tích và tổng, mở ra một cách tiếp cận khác để giải quyết các bài toán phức tạp. Hãy đọc thêm nhiều kiến thức mới khi bạn đọc truy cập tới website THCS Mạc Đĩnh Chi của chúng tôi nhé!