[CẨM NANG] Các công thức lượng giác đầy đủ cho lớp 9, 10, 11

Trong thế giới toán học, các công thức lượng giác là nền tảng của sự hiểu biết. Chúng là một phần thiết yếu của chương trình giảng dạy cho học sinh lớp 9, 10 và 11, bao gồm các công thức lượng giác cơ bản, công thức nhân, chuyển tích thành tổng, giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và các đẳng thức lượng giác cơ bản. Những công thức này được các nhà giáo dục tâm huyết của Trường THCS Mạc Đĩnh Chi biên soạn một cách chu đáo.

Table of Contents

Lý thuyết tỉ số lượng giác của góc nhọn

Các công thức lượng giác liên quan đến việc hiểu các tỉ số, đặc biệt là tỉ số lượng giác của góc nhọn của một tam giác vuông. Trong lượng giác, chúng ta thường sử dụng bốn tỉ số lượng giác chính cho các góc nhọn:

Với:

sin : là tỉ số giữa độ dài cạnh đối diện với độ dài cạnh huyền.
cos : là Tỉ số giữa độ dài cạnh kề với chiều dài cạnh huyền.
tan : là Tỉ lệ giữa độ dài của cạnh đối diện với độ dài của cạnh liền kề.
cot : là Tỉ lệ giữa chiều dài của cạnh kề với chiều dài của cạnh đối diện với góc.

Một cách ghi nhớ hữu ích của các công thức lượng giác để ghi nhớ những tỷ lệ này là: : Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, ,Cot kết đoàn

Xem thêm: Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Công thức lượng giác và bảng lượng giác cho các cung, góc liên quan đặc biệt

Bảng giá trị lượng giác của một số cung, góc đặc biệt:

Nhận dạng lượng giác cơ bản

Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ Công Thức Toán: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Hai góc đối nhau – công thức cos sin tan cot của các góc phụ:

cos (-x) = cos x
sin (-x) = -sin x
tan (-x) = -tan x
cot (-x) = -cot x

Hai góc bù nhau – công thức cos sin tan cot của các góc bù nhau:

sin (π – x) = sin x
cos (π – x) = -cos x
tan (π – x) = -tan x
cot (π – x) = -cot x

Hai góc phụ nhau – công thức cos sin tan cot của các góc cùng nguyên tố

sin (π/2 – x) = cos x
cos (π/2 – x) = sin x
tan (π/2 – x) = cot x
cot (π/2 – x) = tan x

Hai góc hơn kém π – công thức cos sin tan cot của các góc lớn hơn hoặc nhỏ hơn π

sin (π + x) = -sin x
cos (π + x) = -cos x
tan (π + x) = tan x
cot (π + x) = cot x

Hai góc hơn kém π/2 – công thức cos sin tan cot của các góc lớn hơn hoặc nhỏ hơn π/2

sin (π/2 + x) = cos x
cos (π/2 + x) = -sin x
tan (π/2 + x) = -cot x
cot (π/2 + x) = -tan x

Xem thêm: Công thức hàm số lượng giác

Các công thức lượng giác cơ bản và công thức cộng

Công thức lượng giác cơ bản đầy đủ

$1.\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

$2.\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

$3.\ \sin^2x+\cos^2x=1$

$4.\ \tan x.\cot x=1\left(x\ne k\frac{\pi}{2},\ k\ ∈\ Z\right)$

$5.\ 1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}\ \left(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\ ∈\ Z\right)$

$6.\ 1+\cot^2x=\frac{1}{\sin^2x}\ \left(x\ne k\pi,\ k\ ∈\ Z\right)$

sin(a ± b) = sin(a).cos(b) ± cos(a).sin(b)
cos(a + b) = cos(a).cos(b) – sin(a).sin(b)
cos(a – b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b)

$4.\ \tan\left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan.\tan b}$

$5.\ \tan\left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$

Một cách ghi nhớ hữu ích của các công thức lượng giác để ghi nhớ các công thức tính tổng thành tích là: Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.

Công thức nhân đôi, nhân 3, nhân 4 và công thức hạ bậc

Công thức nhân đôi lượng giác

Tổng hợp Công thức nhân đôi lượng giác:

sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos²a – sin²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a
$\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}$
$\cot2a=\frac{\cot^2a\ -1}{2\cot a}$

Công thức nhân 3

Dưới đây là các Công thức nhân 3:

sin3a = 3sina – 4sin³a
cos3a = 4cos³a – 3cosa
$\tan3a=\frac{3\tan a-\tan^3a}{1-3\tan^2a}$
$\cot3a=\frac{\cot^3a-3\cot a}{3\cot^2a-1}$

Công thức nhân 4

Dưới đây là các Công thức nhân 4:

sin4a = 4.sina.cos³a – 4.cosa.sin³a
cos4a = 8.cos⁴a – 8.cos²a + 1
hoặc cos4a = 8.sin⁴a – 8.sin²a + 1

Công thức hạ bậc lượng giác

Trên thực tế, những Công thức hạ bậc lượng giác này đều bắt nguồn từ các đồng nhất các công thức lượng giác cơ bản. Ví dụ: sin²a=1 – cos²a = 1 – (cos2a + 1)/2 = (1 – cos2a)/2.

$1.\ \sin^2a\ =\ \frac{1-\cos2a}{2}$

$2.\ \cos^2a=\frac{1+\cos2a}{2}$

$3.\ \sin^3a=\frac{3\sin a-\sin3a}{4}$

$4.\ \cos^3a=\frac{3\cos a+\cos3a}{4}$

Công thức biến đổi tích thành tổng và công thức tổng thành tích

Công thức biến đổi tích thành tổng

Một số Công thức biến đổi tích thành tổng:

$1.\ \cos a.\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos\left(a+b\right)+\cos\left(a-b\right)\right]$ $2.\ \sin a.\sin b=-\frac{1}{2}\left[\cos\left(a+b\right)-\cos\left(a-b\right)\right]$

$3.\ \sin a.\cos b=-\frac{1}{2}\left[\sin\left(a+b\right)+\sin\left(a-b\right)\right]$

Công thức biến đổi tổng thành tích

Mẹo nhớ của các Công Thức Lượng Giác: cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin.

$1.\ \cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}.\cos\frac{a-b}{2}$

$2.\ \cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}.\sin\frac{a-b}{2}$

$3.\ \sin\ a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}.\cos\frac{a-b}{2}$

$4.\ \sin\ a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}.\sin\frac{a-b}{2}$

$5.\ \tan a+\tan b=\frac{\sin\left(a+b\right)}{\cos a.\cos b}$

$6.\ \tan a-\tan b=\frac{\sin\left(a-b\right)}{\cos a.\cos b}$

$7.\ \sin a+\cos a=\sqrt{2}\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)$

$8.\ \sin a-\cos a=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

$9.\ \tan a+\cot a=\frac{2}{\sin2a}$

$10.\ \cot a-\tan a=2\cot2a$

$11.\ \sin^4a+\cos^4a=1-\frac{1}{2}\sin^22a=\frac{1}{4}\cos4a+\frac{3}{4}$

$12.\ \sin^6a+\cos^6a=1-\frac{3}{4}\sin^22a=\frac{3}{8}\cos4a+\frac{5}{8}$

Xem thêm: Công thức tổng thành tích

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản

$1.\;\sin a=\sin b\;\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}a=b+k2\mathrm\pi\\a=\mathrm\pi-\mathrm b+\mathrm k2\mathrm\pi\end{array}(k\in Z)\right]$

$2.\;\cos a=\cos b\;\Leftrightarrow\;\left[\begin{array}{c}a=b+k2\mathrm\pi\\a=-b+k2\mathrm\pi\end{array}(k\in Z)\right]$

3. tan a = tan b ⇔ a = b + kπ; (k ∈ Z)

4. cot a = cot b ⇔ a = b + kπ; (k ∈ Z)

Các trường hợp đặc biệt với phương trình lượng giác

sin(x) = 0 ⇔ x = kπ; (k ∈ Z)
sin(x) = 1 ⇔ x = π/2 + k2π; (k ∈ Z)
sin(x) = -1 ⇔ x = -π/2 + k2π; (k ∈ Z)
cos(x) = 0 ⇔ x = π/2 + kπ; (k ∈ Z)
cos(x) = 1 ⇔ x = k2π; (k ∈ Z)
cos(x) = -1 ⇔ x = π + k2π; (k ∈ Z)

Dấu của các giá trị lượng giác trong góc phần tư số

Góc phần tư số	I	II	III	IV
Giá trị lượng giác	I	II	III	IV
sin x	+	+	–	–
cos x	+	–	–	+
tan x	+	–	+	–
cot x	+	–	+	–

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Tỷ số lượng giác của các góc phụ nhau ( α + β = 90°)

sin(α) = cos(β)
cos(α) = sin(β)
tan(α) = cot(β)
cot(α) = tan(β)

Bảng tỉ số lượng giác các góc đặc biệt

Một số công thức lượng giác bổ sung

Biểu diễn các công thức lượng giác theo $t=\frac{\tan a}{2}$

$1.\ \sin a=\frac{2t}{1+t^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2.\ \cos a=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$3.\ \tan\ a=\frac{2t}{1-t^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4.\ \cot a=\frac{1-t^2}{2t}$

Tổng kết của các công thức lượng giác

Đây là những yếu tố cơ bản của các công thức lượng giác, giúp học sinh hiểu mối quan hệ giữa các góc và cạnh của hình tam giác. Cho dù bạn đang chuẩn bị cho một kỳ thi hay đang tìm kiếm sự hiểu biết sâu sắc hơn về toán học thì những công thức này đều là những công cụ vô giá. Hãy nhớ rằng, thực hành là chìa khóa để nắm vững các công thức lượng giác, vì vậy đừng ngần ngại khám phá và áp dụng những khái niệm này vào các vấn đề toán học khác nhau và các tình huống thực tế. Để biết thêm nội dung giáo dục và cập nhật liên quan đến toán học, hãy chú ý theo dõi THCS Mạc Đĩnh Chi!